线性规划的概念(答案版).doc

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1、3.6：线性规划目录：（1）线性规划的基本概念（2）线性规划在实际问题中的应用【知识点1：线性规划的基本概念】(1)如果对于变量x、y的约束条件，都是关于x、y的一次不等式，则称这些约束条件为__线性约束条件__是欲求函数的最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做__目标函数_，当是x、y的一次解析式时，叫做_线性目标函数__.(2)求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，称为__线性规划问题__；满足线性约束条件的解叫做__可行解_；由所有可行解组成的集合叫做__可行域_；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做_

2、最优解__例题：若变量x、y满足约束条件，则的最大值和最小值分别为(B)A.4和3B.4和2C.3和2D.2和0分析：本题考查了不等式组表示平面区域，目标函数最值求法.解：画出可行域如图作所以当直线过时z最大，过时z最小变式1：已知，式子中变量x、y满足条件，则z的最大值是__3___解：不等式组表示的平面区域如图所示.作直线，平移直线，当直线经过平面区域的点时，z取最大值.变式2：设，式中变量x、y满足条件，求z的最大值和最小值分析：由于所给约束条件及目标函数均为关于x、y的一次式，所以此问题是简单线性规划问题，使用图解法求解解：作

3、出不等式组表示的平面区域(即可行域)，如图所示．把变形为，得到斜率为-2，在y轴上的截距为z，随z变化的一族平行直线．由图可看出，当直线经过可行域上的点A时，截距z最大，经过点B时，截距z最小．解方程组，得A点坐标为，解方程组，得B点坐标为所以变式3：若变量x、y满足约束条件，则的最小值为(C)A.17B.14C.5D.3解:作出可行域(如图阴影部分所示)．作出直线.平移直线l到l′的位置，使直线l通过可行域中的A点(如图)这时直线在y轴上的截距最小，z取得最小值．解方程组，得最优解，【知识点2:线性规划在实际问题中的应用】例题：某工

4、厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A、B两种规格金属板，每张面积分别为2m2与3m2.用A种规格金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A、B两种规格金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？解：设A、B两种金属板分别取x张、y张，用料面积为z，则约束条件为目标函数为.作出以上不等式组所表示的平面区域(即可行域)，如图所示：变为，得斜率为，在y轴上截距为且随z变化的一组平行直线．当直线过可行域上点M时，截距最小，z最小．解方程组，得M点的坐标为(5,5)．

5、此时．答：当两种金属板各取5张时，用料面积最省．变式1：4个茶杯和5包茶叶的价格之和小于22元，而6个茶杯与3包茶叶的价格之和大于24元，则2个茶杯和3包茶叶的价格比较(　A　)A．2个茶杯贵B．3包茶叶贵C．相同D．无法确定解：设茶杯每个x元，茶叶每包y元，则取值的符号判断如下由，过点，往下平移．经过可行域内的点∴，即.往上平移不经过可行域内的点．∴选A.变式2已知x、y满足，求：(1)的最小值；(2)的取值范围.分析：(1)将z化为，问题转化为求可行域中的点与定点的最小距离问题；(2)将式子化为或，问题转化为求可行域中的点与定点的

6、连线的斜率的最值问题 解：作出可行域如图并求出点A、B的坐标分别为(1)表示可行域内任一点到定点的距离的平方，过M作直线AC的垂线MN，垂足为N，则：.(2)表示可行域内任一点与定点连线的斜率，可知，kAQ最大，kQB最小．而.∴z的取值范围为．点评:求非线性目标函数的最值，要注意分析目标函数所表示的几何意义，通常与截距、斜率、距离等联系，是数列结合的体现．变式3在条件下，的取值范围是_____.解：由约束条件作出可行域如图目标函数表示点与点的距离的平方．由图可知，z的最小值为点M与直线的距离的平方．即.z的最大值为点与点的距离的平方

7、：即.∴z的取值范围为．变式4设变量x、y满足条件.求的最大值.错解：依约束条件画出可行域如图所示如先不考虑x、y为整数的条件，则当直线过点时，取最大值，.因为x、y为整数，而离点A最近的整点是，这时，所要求的最大值为13.分析：显然整点满足约束条件，且此时，故上述解法不正确．对于整点解问题，其最优解不一定是离边界点最近的整点．而要先对边界点作目标函数的图像，则最优解是在可行域内离直线最近的整点．正解：依约束条件画出可行域如图示作直线平行移动直线l经过可行域内的整点时，.