函数的零点问题(pdf版).pdf

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1、函数的零点问题一、预备知识1．零点存在定理：如果函数yfx()的图象是一条连续不断地曲线，若fa()fb()0，则函数在区间(a，b)上至少有一个零点．2．可能有用的不等式：（应用时须给出证明）x1x⑴≤lnx≤x1；lnx≤；xexx⑵e≥x1；e≥ex；x2x2⑶x0时，e1x；exx；32πxx⑷x(0，)时，xsinxx；1cosx1；26222x1x12(x1)1x1⑸x≥1时，≤≤≤lnx≤x≤≤x1；2xx1x1x2x22x1x112(x1)x1⑹0x≤

2、1时，≤≤x≤lnx≤≤≤x1．2x2xxx1x1二、思路与方法对于确定函数的零点的个数与所在的区间问题时，最麻烦和头疼的是如何来寻找合理有效的数a与b，使得fa()fb()0，再结合函数的单调性就可以最终确定出零点的个数．思路1选取特殊值进行检验1在处理一些相对简单的问题时，我们常常考虑特殊值，如1，0，e，等进行判断，当然有时也可考虑一e些与参数相关的特殊值进行判断．思路2合理选取变量在函数的零点问题中，通常有不止一个变量，而判断某个值的正负时，选取合理的变量就显得非常重要，详见（例1）．思路3放缩法有时我们可以

3、通过一些不等式的放缩来判断某个值的正负．思路4调整法（尝试法）我们先选取一个值去判断，如果可行则万事皆休，如果不可行，则可在这个值上作出一些调整再去判断，如此下去，总能找到一个可行的值出来．思路5局部法考虑函数表达式中的一部分，让它取零来解决问题．三、典型例题2x例1．已知函数fx()lnxkxk(R)．2⑴试讨论fx()的单调性；⑵若fx()存在极值，求fx()的零点个数．解析：⑴略；⑵由⑴可知，当k2时，fx()在(0，x)上单调递增，在(x，x)上单调递减，在(x，)上单调11222递增．其中，x，x是方程x

4、kx10的两根，且xx．1212要求函数yfx()的零点个数，只须要判断fx()与fx()的正负．12①先考虑：当x时，fx()，但是这不能作为解题的过程！我们必须要找到一个值，使得2x它的函数值大于0．如何找？考虑局部！让kx02xk，f(2)ln(2)ln40kk．22x1②现在考虑fx()1的正负，而fx()1lnx1kx1，其中有两个变量：x1和k，现在的问题是全部转222化成x的表达式呢还是转化成k的表达式？利用xkx10kxx1代入fx()中，可得111111

5、22xx11fx()lnx1，01x，fx()010．111122③而由fx()在(x，x)上单调递减，fx()fx()0．1221由此，可知函数fx()的零点个数为1个．1例2．已知函数fx()alnx，aR．x⑴求函数fx()的单调递减区间；⑵当x[1，2]时，fx()的最小值为0，求实数a的值；⑶试问过点P(0，2)可作多少条直线与曲线yfx()相切？并说明理由．解析：⑴⑵略；⑶过点P的直线l与曲线yfx()相切于点Qx(，fx())，00a1则切线的斜率为fx()02，切线方

6、程为yfx()0fx()(0xx0)，xx0011a即yalnx()(xx)，切线过点P(0，2)，002xxx0001122alnxa，即alnxa20．00xxx0002切线的条数就转化为求方程gx()alnxa20的零点个数．xa22ax先求导，得gx()，22xxx分类讨论：①当a≤0时，gx()0，函数ygx()在(0，)上单调递减，gx()0至多只有一个零点．猜测方程只有一个零点，现在去寻找两个值m，n，使fm()0，fn()0．2先找简单的，

7、g(1)aln1+a2a0，122x2再找难的，由上可知，m1，gx()a(lnx1)2aln2，判断当x1时，20，xxexx因此，只须考虑aln0即可，取xe即满足条件．e2②当a0时，由gx()0x，a22当x(0，)时，gx()0，当x(，)时，gx()0，aa22即gx()在区间(0，)上单调递减，在(，)上单调递增．aa222222现在，首先考虑的是g()alna2aln2a(ln)的正负．aa2aaaa2由lnx≤xx1，得

8、g()0．a2然后，猜测方程有两个零点，现在就须要找m和n，使得0mn，且gm()0，gn()0．a22222先考虑局部，使a20，即x，此时，，且1，xa2aa2a222ga()ln0，尝试失败！aa22a2a22换