函数绝对值的最大值最小值问题切比雪夫逼近下的图像法.pdf

《函数绝对值的最大值最小值问题切比雪夫逼近下的图像法.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、函数绝对值的最大值的最小值问题----切比雪夫逼近下的图像法题目：已知函数当时，的最大值记为，则的最小值为_________解：如图，画出在上的图像，为一直线，即考虑这两个函数竖直方向距离的最大值。取水平直线，则此时，取其上一点，将绕点旋转，易知其对应的均大于，再考虑不过点的，其必与前面过点的某条直线平行，比较可知，不过点的更大，即的最小值为。从此题的解答，有点用到切比雪夫逼近理论：定理1（限定参数下的平行线逼近法）：已知yfx()是闭区间D上的连续函数，若存在过yfx()上点的直线hx()axb，hx()axb，使hx()fx()hx()112

2、221恒成立，记fx()axb在D上的最大值为bb12Mab(,)，则Mab(,)2推论1：已知yfx()是闭区间D上的连续函数，则fx()b在D上最fx()fx()fx()fx()maxminmaxmin大值为Mb()，则Mab(,)当且仅当b22时取等号。接下来我们来尝试定理1及推论1的应用2例1：（2016年4月浙江学考第18题）设函数fx()axb,若对于x任意正实数a和实数b，总存在x0[1,2]，使得fx()0m成立，则实数m的取值范围是。解法1：（利用定理1）2记axb在[1,2]上的Mab(,)最大值为x2可知g

3、x()图像夹在两直线xhx()axa2，hx()ax2a1(a0)之间，12(2a)(12)a1a由定理1得，Mab(,)，221a11a0,(,)，所以m2222解法2：由a0，所以gx()ax在[1,2]单调递减，x(2a)(12)a1agx()max2agx,()min12a，Mab(,)，221a11a1所以m对a0恒成立，(,)，可得m2222上面我们用定理1及推论1很好的解决了例1，若题目条件中a0变2为任意实数a，由于此时gx()ax的最值不容易求，所以我们需要

4、x更加一般的方法来解决。定理2：（两平行线逼近已知yfx()是闭区间D上的连续函数，fx()图像上存在着从左到右依次3个点Axy(,)11，Bxy(,22)，Cxy(,)，如图直线hx()kxb过点A，C，直线hx()axb过点B，331122使hx21()fx()hx()或者hx12()fx()hx()恒成立，记fx()axb在bb12bb12D上的最大值为Mab(,)，则Mab(,)，当且仅当akb,22时取得等号。此定理证明就不证了，大家从图形中也可以理解。当定理2的fx()fx()，k0的时候，得到一个特殊情形，13推

5、论2：已知yfx()是闭区间D上的连续函数，fx()图像上存在着从左到右依次3个点Axy(,)11，Bxy(,22)，Cxy(,33)，fx()fx()fx()（或fx()），fx()fx()（或fx()），记13maxmin2minmaxfx()fx()fx()axb在D上的最大值为Mab(,)，则maxminMab(,)2fx()fx()maxmin当且仅当ab0,时取得等号。2推论2中fx()13fx()，函数yfx()变为“平口”函数，此时bb12,为最大或最小值，xxx1,2,3为最大值点或最小值点，有时构造“平口”函数，可以

6、使问题更加简单。下面我们应用定理2与推论2进行2例2设函数fx()axb,若对于任意实数a和实数b，总存在xx[1,2]，使得成立，则实数的取值范围是。0解法1：（利用定理2）2记fx()axb在[1,2]上的最大值为Mab(,)，令x2gx()，记AC(1,,2),(2,1)，则直线AC的方程为x2hx1()x3，作与AC平行且与gx()相切于Bx'2点的直线，由gx()1，可求得x2，2Bx322322得切线方程为hx2()x22，Mab(,)22322322当且仅当ab1,时取等号，m22解法

7、2：（利用推论2，构造“平口”函数）22很明显，我们需要给凑一个一次式，使得x为“平口”函数，xx使之在x=1，2处的函数值相等可得1，222fx()axbx(a1)xb，可得gx()x在[1,2]上的最大xxx2值为3，最小值为22，所以fx()axb的最大值的最小值为x322322，m22对于上面两个定理，两个推论的使用，一般能构造平口函数的，直接使用推论2，有时可以进行秒杀，不用构造平口函数的，使用定理2，若a有条件的，那使用推论1最后考虑定理1。