分式函数值域问题分类导析.doc

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1、分式函数值域问题分类导析江苏省苏州市第一中学盛淳215006求分式函数值域是函数值域问题中的一个重要内容,它不仅是一个难点、重点,而且是解决解析几何有关最值问题的一个重要工具.本文就中学阶段出现的各种类型的分式函数值域问题进行分类研究,运用初等方法给出解决方法.首先我们给出分式函数的定义:形如的函数叫做分式函数,其中、是既约整式且的次数不低于一次.下面就、的次数不超过二次的分式函数进行分类讨论.1.一次分式函数、的次数不高于一次的分式函数叫做一次分式函数,即形如的函数.一次分式函数值域的通常求法是逆求法,即改写成,由于,则,解出y的取值范围,即函数f

2、(x)的值域.例1.求函数,的值域.解:改写成,因为,所以,解得,即原函数的值域是.2.二次分式函数、至少有一个的次数是二次的分式函数叫做二次分式函数,即形如的函数.若A=,则可采用根的判别式法求值域.例2.求函数的值域.解:化为关于x的方程.若y=1,则方程无解,即.因为,所以,解得,即原函数的值域是().若A,则再分类讨论.2.1.形如,且的函数.先利用二次函数的性质求出分母的值域,再利用复合函数的单调性求出函数的值域.例3.求函数的值域.解:令,则,所以函数的值域是.2.2.形如,且()或,且的分式函数.下面就形式()讨论解法.2.2.1.若c

3、=0,则分子分母同除以x,得=.只要讨论函数且的值域.不妨设.若,则函数在和上分别是增函数;若,则函数在和上分别是减函数,在和上分别是增函数.这样利用函数的单调性,先求出的值域,从而求出函数的值域.例4.求函数的值域.解:.令,则,所以函数的值域是.2.2.2.若,则换元,令,转化为2.2.1.形式的分式函数.例5.求函数的值域.解:令,则.因为,所以函数的值域是.2.3.形如且的分式函数.2.3.1.若或,则分子分母同除以,转化为求关于的二次函数的值域,从而求出函数的值域.例6.求函数的值域.解:.因为函数的值域是,所以函数的值域是.2.3.2.若

4、分子分母有一个是完全平方式,不妨设且,则可令,转化为2.3.1形式的分式函数.例7.求函数的值域.解:令,则.因为,所以函数的值域是.2.3.3.若都不是前两种形式的分式函数,则改写成部分分式,即,转化为2.2形式的分式函数.例8.求函数的值域.解:,所以函数的值域是.3.分式函数值域在解析几何中的运用yQPOx。A解析几何的最值问题常常需要求分式函数的值域,掌握了前面的思想方法,那么对于解决此类问题就易如反掌了.下面举例说明.例9.已知直线:与点,在上求一点,使直线与直线,以及轴在第一象限内围成的三角形面积最小.解:设,直线的方程是,直线交轴于点.

5、根据题意,所以,,当时,的最小值为40,.此题的解法是将的面积S表示为Q的横坐标的分式函数,运用求分式函数值域的方法,从而求出面积的最小值.yABF1F2xO例10.设F1、F2是椭圆的两个焦点,AB是过焦点F1的一条动弦,试求△ABF2面积的最大值,并确定取得最大值时,AB弦的位置.解:设AB弦所在的直线方程是,,,则.由方程组,消去y,得,则,,,令,,当t=3时,有最大值,此时k=0,即AB弦过焦点F1且平行于轴.此题的解法是将△ABF2面积的平方表示为的二次分式函数,从而求出最大值.

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