初等数论试卷1..doc

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1、初等数论试卷一、单项选择题：（1分/题×20题=20分）１．设为实数，为的整数部分，则(　　)Ａ．；　　Ｂ．；Ｃ．；　　Ｄ．．２．下列命题中不正确的是(　　)Ａ．整数的公因数中最大的称为最大公因数；Ｂ．整数的公倍数中最小的称为最小公倍数Ｃ．整数与它的绝对值有相同的倍数Ｄ．整数与它的绝对值有相同的约数３．设二元一次不定方程（其中是整数，且不全为零）有一整数解，则此方程的一切解可表为(　　)Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．４．下列各组数中不构成勾股数的是(　　)Ａ．５，１２，１３；　　Ｂ．７，２４，２５；Ｃ．３，４，５；　　　　Ｄ．８，１６，１７５．下列推导中不正确的是

2、(　　)Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．６．模１０的一个简化剩余系是(　　)Ａ．　　　　　　　　Ｂ．Ｃ．　　Ｄ．７．的充分必要条件是(　　)Ａ．　　　Ｂ．Ｃ．　　　Ｄ．８．设，同余式的所有解为(　　)Ａ．或　　　　　Ｂ．或Ｃ．或　　Ｄ．无解．9、设f(x)=其中为f(x)的一个解，则:()A．B．C．D．10．则同余式：（）A．有时大于p但不大于n;B．可超过pC．等于pD．等于n11．若2为模p的平方剩余，则p只能为下列质数中的:()A．3B．11C．13D．2312．若雅可比符号，则()A．B．;C．;D．．13．()A．4B．3C．2D．114．模12的所有可

3、能的指数为;()A．1，2，4B．1，2，4，6，12C．1，2，3，4，6，12D．无法确定15．若模m的单根存在，下列数中，m可能等于:()A．2B．3C．4D．1216．对于模5，下列式子成立的是:()A．B．C．D．17．下列函数中不是可乘函数的是:()A．茂陛鸟斯(mobius)函数w(a);B．欧拉函数；C．不超过x的质数的个数；D．除数函数；18．若对模的指数是，>0，>0，则对模的指数是()A．B．C．D．无法确定19．，均为可乘函数，则()A．为可乘函数；B．为可乘函数C．为可乘函数；D．为可乘函数20．设为茂陛乌斯函数，则有()不

4、成立A．B．C．D．二．填空题：（每小题1分，共10分）21．3在45中的最高次n＝____________________；22．多元一次不定方程：，其中，，…，，N均为整数，，有整数解的充分必要条件是___________________；23．有理数，，，能表成纯循环小数的充分必要条件是_______________________；24．设为一次同余式，的一个解，则它的所有解为_________________________；25．威尔生（wilson）定理：________________________________________；

5、26．勒让德符号=________________________________________；27．若，则是模的平方剩余的充分必要条件是_____________(欧拉判别条件)；28．在模的简化剩余系中，原根的个数是_______________________；29．设，为模的一个原根，则模的一个原根为_____________；30．_________________________________。三．简答题：（5分／题×4题＝20分）31．命题“任意奇数的平方减1是8的倍数”对吗？说明理由。32．“若，通过模的简化剩余系，则也通过模的

6、简化剩余系”这命题是否正确？正确请证明，不正确请举反例。33．求模17的简化剩余系中平方剩余与平方非剩余。34．设为的标准分解式，记为的正因数的和，为的正因数的个数，则＝？＝？为什么？四．计算题。（7分／题×4题＝28分）35．求不定方程6x+93y=75的一切整数解。36．解同余方程组37．解同余式≡11(mod125)38．求模13的所有原根。五、证明题：（7分/题×2题=14分）39、试证：，（x，y）=1y是偶数的整数解可写成：这里，，并且一为奇数，一为偶数。40、设a为正整数，试证：其中表示展布在a的一切正因数上的和式。六、应用题：（8分）

7、41、求30！中末尾0的个数。参考答案：一．单项选择：ABCDD；DACCB；DCAAD；BCBAB。二．填空题：21．21；22．；23．；24．；25．！+1为素数；26．1；27．；28．；29．与中的单数；30．16三．简答题：31．答：命题正确。而必为2的倍数。86页32．正确．证明见教材。33．在摸的简化剩余系中与同余的数是数的平方剩余，，，故1，2，4，8，9，13，15，16为摸17的平方剩余，而3，5，6，7，10，11，12，14为摸17的平方非剩余。34．证明：若为可乘函数，则．分别令，它们为可乘函数，即得出。四．计算题35．解

8、：因为，故原不定方程有解。又原方程即，而易见方程有解。所以原方程的一个解是所以，原方程的一切整数解是：（）t