有关矩阵方程AXB问题的探究.docx

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1、上海大学2012~2013学年冬季学期课程论文课程名称:线性代数与几何(1)(基础班)课程编号:01014108论文题目:有关矩阵方程AX=B问题的讨论作者姓名:王文涛学号:12123405成绩:论文评语:评阅人:评阅日期:注:后附课程论文的正文有关矩阵方程AX=B问题的讨论作者姓名:王文涛学号:12123405摘要::线性代数是代数学的一个分支,它以矩阵理论为中心,而矩阵方程是应用最广泛的一类方程。:作为线性方程组的解的理论的推广,本文给出了矩阵方程AX=0解的结构、解的性质和矩阵方程AX=B有解的充要条件。关键词::矩阵方程

2、解的判定解的结构我们知道线性方程组可写成矩阵形式:Ax=b,其中A为m×n矩阵,b为m维列向量,x为未知的n维列向量。现将向量b推广到矩阵B,即得到矩阵方程:AX=B,其中A为m×n矩阵,B为m×s矩阵,X为未知的n×s矩阵。根据线性方程组与矩阵方程的紧密联系,我们对矩阵方程AX=B提出与线性方程组相同的两个力所能及的问题:第一,矩阵方程有没有解,有解的充要条件是什么;第二,矩阵方程若有解,有多少个。本文的分析正是基于对以上问题的思考来进行的。首先,我们来证明矩阵方程AX=B有解的充要条件。设A和B分别是给定的m×n和m×p矩阵

3、,X是n×p未知矩阵。证明:矩阵方程AX=B有解的充要条件是:rankA=rank[A,B],其中[A,B]是A和B并排成的矩阵。证:记B=[β1,β2,⋯,βp],其中β1是矩阵B的第j列形成的m维列向量,j=l,2,⋯,P,记X=[α1,α2,⋯,αp],其中αj是矩阵X的第j列,形成n维的未知向量,j=1,2,⋯,P。考虑Aα1,α2,⋯,αj=β1,β2,⋯,βj,j=l,2,⋯,p。现对j用归纳法证明,矩阵方程Aα1,α2,⋯,αj=β1,β2,⋯,βj有解的充要条件是rankA=rank[A,β1,β2,⋯,βj]。

4、当j=1时,结论显然成立,因为矩阵方程即为Aα1=β1,这是通常的线性方程组。设结论对j-1成立。考虑矩阵方程Aα1,α2,⋯,αj=β1,β2,⋯,βj,它有解的充要条件是:Aα1,α2,⋯,αj-1=β1,β2,⋯,βj-1与Aαj=βj都有解。由归纳假设,使这两个矩阵方程有解的充要条件是:rankA=rank[A,β1,β2,⋯,βj-1]与rankA=rank[A,βj],这表明β1,β2,⋯,βj均可由矩阵A的向量的极大线性无关向量组线性表出,因此rankA=rank[A,β1,β2,⋯,βj],即结论对j也成立。那么

5、证明了有解及其充要条件,接下来我们来探讨解的个数。先要引入一个定义m×(n+s)矩阵(AB)称为矩阵方程AX=B的增广矩阵,用表示。那么,若m≥n且RA=R=n时,则矩阵方程AX=B有唯一解。因为:设W为矩阵A的列向量生成的子空间,α1,α2,⋯,αn为A的列向量,β1,β2,⋯,βn为B的列向量。R(A)=n,所以α1,α2,⋯,αn线性无关,从而α1,α2,⋯,αn是W的一组基。又RA=R,所以B的每一列βj∈W,从而βj能由W的基线性表示,且表示法唯一。因此,矩阵方程AX=B有且仅有一个解。若RA=R=r

6、X=B有无穷多解。因为RA=R=r,所以=AB可以经由初等行变换和前n列的第一种初等变换变为的形式,此处的O为n×s的零矩阵。由线性方程组知识,可得矩阵方程ICOO=与矩阵方程AX=B同解。上式等价于X1+CX2=B1则X1=B1-CX2其中X1为r×s矩阵,X2为n-r×s矩阵,C为r×n-r矩阵,B1为r×s矩阵。因为r0,所以X1存在,此时X2可以为任意的n-r×s矩阵所以由X1=B1-CX2可得AX=B有无穷解。通过上面的讨论我们可以得到以下矩阵方程AX=B的解的存在定理:设=AB(1):若RA

7、程无解;(2):若RA=R=n时,方程有唯一解;(3):若RA=R

8、ORTHOMIN)方法中周期地重开始:每k+1次迭代,用当前的第j次重开始的结果xjl作为新的i+1次重开始的初始向量,这时只要存贮k个方向向量。我们称这个重开始的GCR(或ORTHOMIN)方法为GCR(k)(或ORTHOMIN(k))。可以证明,只要矩阵A是

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