浅谈分式方程的解的几种形式.doc

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1、浅谈分式方程的解的几种形式（甘肃省天水市秦州区海池中学刘建强741008)[关键词]分式方程增根公分母[摘要]分式方程是初中数学中的重点也是难点，分式方程有解不一定就没产生增根，产生增根也不一定无解，弄清增根与无解的区别能提高解分式方程的正确性，对判断分式方程的解的情况有一定的指导意义。方程中含有分式，并且分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解分式方程的基本思想是将分式方程化为整式方程，最常用的方法是去分母法,即在方程两边同时乘以最简公分母的方法，这样未知数的取值范围就有可能扩大，所以解出来的未知数的值就必须检验

2、,防止出现增根现象，下面举例探讨分式方程"解"的有关情形。一、分式方程有解例１、解方程：2∕(x+3)=1/(x-1)解：方程两边同乘以最简公分母(x+3)(x-1)，约去分母，得2(x-1)=x+3，解这个整式方程，得x=5。检验：把x=5代入(x+3)(x-1)中，得(5+3)(5-1)=32≠0，所以x=5是原分式方程的解。例2、已知关于x的方程1/x-m/(x-1)=m有实数根，求m的取值范围。解：方程两边同乘以最简公分母x(x-1)约去分母，得mx2-x+1=0，①当m=0时，得x=1，此时原分式方程化

3、为1/x=0，显然，原分式方程无解，所以m=0不符合题意舍去，②当m≠0时，整式方程mx2-x+1=0的判别式∆＝(-1)2-4m=1-4m，因为原分式方程有实根，所以1-4m≥0。解的m≤1/4，所以，当m≤1/4且m≠0，时，原方程有实数根　。一、分式方程无解且没有产生增根有些分式方程无解并且没有产生增根，举例如下：例3、解方程(1)1/(x-1)=1/(2x-2)(2)(x-1)/(x+2)=(3-x)/(2+x)+2(3)(x2+2)/(x2-4)=2/(x+2)-1解：(1)1/(x-1)=1/(2x-

4、2)去分母得，2=1,显然，2≠1，所以，原分式方程无解，(2)(x-1)/(x+2)=(3-x)/(2+x)+2去分母得，x-1＝3-x+2x-4移项合并同类项得，0x=8，即0=8，所以原分式方程无解，(3)(x2+2)/(x2-4)=2/(x+2)_1　去分母得，x2+2＝2x-4-x2+4移项合并同类项得，x2-x+1+0因为∆＝1-4<0，所以原分式方程无解三、分式方程产生增根但分式方程无解分式方程在去分母后所变形而成的整式方程是一元一次方程，该一元一次方程的解恰能使最简公分母为零，这个根是增根，由于一

5、元一次方程的根往往只有一个，所以原分式方程无解，如下例例4、解方程1/(x-2)+3=(1-x)/(2-x)解：1/(x-2)+3=(1-x)/(2-x)去分母得，1+3x-6=x-1解得，x=2经检验x=2是增根，所以原方程无解四、分式方程产生增根且分式方程有解分式方程去分母后变形而成的整式方程是一元二次方程时，由于一元二次方程有两个根，其中有一根使最简公分母为零，则这个根就是增根另一根不能使最简公分母为零，则这个根就是原分式方程的解，举例如下：例5、解方程x/(x-1)-2/(x+1)=4/(x2-1)解：x

6、/(x-1)-2/(x+1)=4/(x2-1)去分母得，x2+x-2x+2=4移项合并同类项得x2-x-2=0解得x1=2x2=-1经检验x=2是原分式方程的根，x=-1是增根，所以原分式方程的根为x=2