点线面位置关系典型例题.doc

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1、..点线面位置关系典型例题一，直线与平面平行的判定与性质典型例题一例1简述下列问题的结论，并画图说明：（1）直线平面，直线，则和的位置关系如何？（2）直线，直线，则直线和的位置关系如何？分析：（1）由图（1）可知：或；（2）由图（2）可知：或．说明：此题是考查直线与平面位置关系的例题，要注意各种位置关系的画法与表示方法．典型例题二例2是平行四边形所在平面外一点，是的中点，求证：平面．分析：要证明平面外的一条直线和该平面平行，只要在该平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了．证明：如图所示，连结，交于点，∵四边形是平行四边形∴，连结，则在平面内，且是的中位线，∴．∵在平面外，∴平面．..下载可编

2、辑....说明：应用线面平行的判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，怎样找这一直线呢？由于两条直线首先要保证共面，因此常常设法过已知直线作一平面与已知平面相交，如果能证明已知直线和交线平行，那么就能够马上得到结论．这一个证明线面平行的步骤可以总结为：过直线作平面，得交线，若线线平行，则线面平行．典型例题三例3经过两条异面直线，之外的一点，可以作几个平面都与，平行？并证明你的结论．分析：可考虑点的不同位置分两种情况讨论．解：（1）当点所在位置使得，（或，）本身确定的平面平行于（或）时，过点再作不出与，都平行的平面；（2）当点所在位置，（或，）本身确定的平面与（或）不平行

3、时，可过点作，．由于，异面，则，不重合且相交于．由于，，确定的平面，则由线面平行判定定理知：，．可作一个平面都与，平行．故应作“0个或1个”平面．说明：本题解答容易忽视对点的不同位置的讨论，漏掉第（1）种情况而得出可作一个平面的错误结论．可见，考虑问题必须全面，应区别不同情形分别进行分类讨论．典型例题四例4平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面．已知：直线，平面，．求证：．证明：如图所示，过及平面内一点作平面．设，∵，∴．..下载可编辑....又∵，∴．∵，，∴．说明：根据判定定理，只要在内找一条直线，根据条件，为了利用直线和平面平行的性质定理，可以过作平面

4、与相交，我们常把平面称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，把空间问题向平面问题转化．和平面几何中添置辅助线一样，在构造辅助平面时，首先要确认这个平面是存在的，例如，本例中就是以“直线及直线外一点确定一个平面”为依据来做出辅助平面的．典型例题五例5已知四面体的所有棱长均为．求：（1）异面直线的公垂线段及的长；（2）异面直线和所成的角．分析：依异面直线的公垂线的概念求作异面直线的公垂线段，进而求出其距离；对于异面直线所成的角可采取平移构造法求解．解：（1）如图，分别取的中点，连结．由已知，得≌．∴，是的中点，∴．同理可证∴是的公垂线段．..下载可编辑....在中，，．∴．（2）取的中点，连结，则．∴和

5、所成的锐角或直角就是异面直线和所成的角．连结，在中，，，．由余弦定理，得．∴．故异面直线和所成的角为．说明：对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决，同时要将转化过程简要地写出来，然后再求值．典型例题六例6　如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内的一点且与这条直线平行的直线必在这个平面内．已知：直线，，，．求证：．分析：由于过点与平行的直线是惟一存在的，因此，本题就是要证明，在平面外，不存在过与平行的直线，这是否定性命题，所以使用反证法．..下载可编辑....证明：如图所示，设，过直线和点作平面，且．∵，∴．这样过点就有两条直线和同时平行于直线，与平行公理矛盾．∴必在内．说明：(1)本

6、例的结论可以直接作为证明问题的依据．(2)本例还可以用同一法来证明，只要改变一下叙述方式．如上图，过直线及点作平面，设．∵，∴．这样，与都是过点平行于的直线，根据平行公理，这样的直线只有一条，∴与重合．∵，∴．典型例题七例7下列命题正确的个数是（　　）．(1)若直线上有无数个点不在平面内，则；(2)若直线平行于平面内的无数条直线，则；(3)若直线与平面平行，则与平面内的任一直线平行；(4)若直线在平面外，则．A．0个　　B．1个　　C．2个　　D．3个分析：本题考查的是空间直线与平面的位置关系．对三种位置关系定义的准确理解是解本题的关键．要注意直线和平面的位置关系除了按照直线和平面公共点的个数

7、来分类，还可以按照直线是否在平面内来分类．解：(1)直线上有无数个点不在平面内，并没有说明是所在点都不在平面内，因而直线可能与平面平行亦有可能与直线相交．解题时要注意“无数”并非“所有”．(2)直线虽与..下载可编辑....内无数条直线平行，但有可能在平面内，所以直线不一定平行．(3)这是初学直线与平面平行的性质时常见错误，借助教具我们很容易看到．当时，若且，则在平面内，除了与平行的直线以外的每一