谈高考中立体几何题的解答.doc

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1、谈高考中立体几何解答题的解答二〇〇九年五月谈高考中立体几何解答题的解答立体几何解答题在高考中占１２分，一般考察立体几何知识掌握情况及解答技巧。如线面垂直、面面垂直、线面平行，线面角、二面角等问题。解答题的难点在如何找线面垂直，如何找二面角及如何求解二面角。下面就解答立体几何解答题谈自己一点看法。一、如何求解线面平行和线面垂直１.线面平行和线面垂直一般在第一问考察，线面平行主要在平面内找与已知直线平行的直线。例1.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面变长为2a，侧棱长为a，点D为棱A1C1中点,点E为棱AC中点。（1）求证：直线

2、BC1∥平面AB1D分析：连A1B交AB1与E，连结DE，则DE∥BC1例2.如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，,,,为的中点，为的中点（1）证明：直线分析：做QD的中点E，连结ME,EC,则四边形MNCE为平行四边形，所以MN∥EC点评：找平行线一般可以找在三角形的中位线或者找平行四边形的对边平行。２.线面平行的考察一般我们要在面内找两条相交直线与已知直线平行，方法注意用三垂线定理，有时也用三角形相似。例3.ABCDEA1B1C1D1如图，正四棱柱中，，点在上且．（Ⅰ）证明：平面；解：依题设知，．（Ⅰ）连结交于点，则．由三

3、垂线定理知，．ABCDEA1B1C1D1FHG在平面内，连结交于点，由于，故，，与互余．于是．与平面内两条相交直线都垂直，所以平面．例4.如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，，平面．．（Ⅰ）求证：平面；解：（Ⅰ）平面，平面．．又，．，，，即．又．平面．二、如何找二面角和求解二面角求解二面角是高考考察的重点，求二面角的方法主要有定义法，垂面法，三垂线法，射影面积法。下面介绍这四种方法：1、用定义法求二面角的平面角　　利用二面角的定义，在二面角棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角为二面角的平面角。　　例5.如

4、图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1　,求平面A1BD和平面C1BD所成的角的大小.　　分析：做棱ＢＤ中点Ｅ，连结EA1，EC1则角A1EC1为所求二面角，然后解三角形求得点评；定义法关键是在棱上找一个合适的点，在两个半平面内作棱的两条垂线。　　2．三垂线法求二面角的平面角　　利用三垂线定理及逆定理通过证明线线垂直，找出二面角的平面角，关键在找平面的垂线。例6．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1　的棱长为１，P是AD中点，求二面角A-BD1-P的大小解：过P作PF⊥D1A于F,过P作PE⊥BD于E,连结EF∵AB⊥平面AA

5、1D1D,∴AB⊥FP又FP⊥D1A∴FP⊥平面D1ABEF为PE在平面D1AB内的射影，PE⊥BD∴PE⊥EF∴∠FEP为二面角A-BD1-P的平面角∴二面角A-BD1-P的大小为30°　　点评：三垂线法一般步骤是：　　①找一个面的垂线（即线面垂直）　　②过其中一点作棱的垂线（即作棱的垂线）　　3．垂面法求二面角的平面角　　作于棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角。　　例7．如图P为二面角α–l–β内一点，PA⊥α于点A,PB⊥β于点B,且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的

6、度数。4．用射影面积法求二面角的平面角作二面角比较困难时，我们可以尝试用射影法求二面角的平面角，公式，其中θ为所求二面角的平面角，　S射为一个面积为S原的平面图形在另一个平面内的射影面积。例8．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1　,E为棱AA1的中点，求平面EB1C和平面ABCD所成二面角的大小分析：以上四种方法求解二面角高考题中常用的是三垂线法和面积法，三垂线法难点是第一步：找其中一个面得垂线。如果题设告诉两个面垂直或者证明两个面垂直，我们先找两个面的棱，再在其中一个面内找棱的垂线，这样找出来再证明就容易了。三、立体几何

7、题中体积和点到平面的距离的求解体积一般有柱体和椎体的体积，先找底面再找高线，有时还用等体积转化来求所求体积。点到平面的距离，还是找线面垂直，上边已经谈过，注意还可以用借体求高告的方法。例9.如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.（Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求二面角B—AC—E的大小；（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.解：（Ⅰ）平面ACE.∵二面角D—AB—E为直二面角，且，平面ABE.（Ⅱ）连结BD交AC于C，连结FG，∵正方形ABCD边长为2，∴BG⊥

8、AC，BG=，平面ACE，由三垂线定理的逆定理得FG⊥AC.是二面角B—AC—E的平面角.由（Ⅰ）AE⊥平面BCE，又，∴在等腰直角三角形AEB中，BE=.又直角，∴二面角B—AC—E等于（Ⅲ）过点E作交AB于点O.OE=1.∵二面角D—AB—E为