大学数学专业微分几何复习题.doc

大学数学专业微分几何复习题.doc

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1、一、填空题:(每小题2分)⒈向量具有固定方向,则=_______________。⒉非零向量满足的充要条件是__________________。⒊设曲线在P点的切向量为,主法向量为,则过P由确定的平面是曲线在P点的_______________________。⒋曲线在点的单位切向量是,则曲线在点的法平面方程是__________________________。⒌曲线在t=1点处有,则曲线在t=1对应的点处其挠率=___________________。⒏在旋转曲面中,___________________

2、_是旋转曲面的经线。⒐曲面在点的法线方程是_____________________。⒑直纹面的参数表示总可以写成______________________。11、向量函数使的充要条件是。12、若是曲线的正则点,则曲线在的密切平面方程是。13、一曲线的副法向量是常向量,则这曲线的挠率。15、曲面上一族坐标曲线是测地线,另一族为它的正交轨线坐标网是16、已知曲面的第一类基本量为E、F、G,则两方向du:dv与垂直的充要条件是。17、对曲面有,则曲面上曲线u=u(t),v=v(t)从到t(t>)的弧长s=。18、

3、若曲面在(0,1)点处的第二基本形式,则在(0,1)点处,。其中为曲面的单位法向量。19、已知曲面的第二类基本量L、M、N,则曲面上渐近曲线的微分方程是。20、若曲面的第一基本形式为,曲面在一点的切向与u—线的夹角为,则曲面在这点沿切向的测地曲率=。21具有固定方向的充要条件是______________________。22挠率______________________的曲线其副法向量是常矢。23曲线在点的主法向量是,则曲线在P点的从切面方程是。25曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是__________

4、______。26.曲面上一曲线,如果它每一点的切方向都是主方向,则称该曲线为____________。27.半径为R的球面的高斯曲率K=.28.一个曲面为可展曲面的充分必要条件是它的______________恒等于零。30.在可展曲面上,测地三角形的三内角之和。31.向量函数使的充要条件是。32、若是曲线的正则点,则曲线在的密切平面方程是。33、一曲线的副法向量是常向量,则这曲线的挠率。35、球面上,线是球面上的纬圆。36、已知曲面的第一类基本量为E、F、G,则两方向du:dv与垂直的充要条件是。37、对曲

5、面有,则曲面上曲线u=u(t),v=v(t)从到t(t>)的弧长s=。38、若曲面在(0,1)点处的第二基本形式,则在(0,1)点处,。其中为曲面的单位法向量。39、已知曲面的第二类基本量L、M、N,则曲面上渐近曲线的微分方程是。40、若曲面的第一基本形式为,曲面在一点的切向与u—线的夹角为,则曲面在这点沿切向的测地曲率=。一、选择填空题:(每小题3分)1、圆柱螺线在点的切线为______。A、B、C、D、2、曲面的三个基本形式之间的关系为______。A、Ⅲ+2HⅡ+KⅠ=0B、Ⅲ-2HⅡ+KⅠ=0C、Ⅲ-2

6、KⅡ+HⅠ=0D、Ⅲ-2HⅡ-KⅠ=03、曲面的坐标网是正交网的充要条件是_____。A、M=0B、L=N=0C、M=F=0D、F=04、下列曲面中_____不是可展曲面。A、柱面B、锥面C、一条曲线的切线曲面D、正螺面5、曲面上,不是曲面的内蕴量。A、两曲线的夹角B、曲线的弧长6、曲线在P(s)点的基本向量是,曲率k(s),挠率,则下式不正确。A、B、C、D、7、曲面在P点的第一、第二基本形式分别为,曲面上曲线(C)在P点的曲率k、沿切向的法曲率为,(C)在P点的主法向量与曲面的单位法向量的夹角为,则下式正确

7、。A、B、C、D、8、L=N=0是曲面的曲纹坐标网为的充要条件。A、正交网B、渐近网C、曲率网D、半测地坐标网9、在圆柱面上,圆柱螺线是。A、平面曲线B、曲率线C、测地线D、渐近线10、以下各项中,不一定是测地线。A、球面上的大圆B、圆柱面上的螺旋线C、旋转曲面上的经线D、旋转曲面上的纬线11、设曲面在一点的单位法向量,切向量为,则的充分必要条件是。A、存在方向使B、存在方向使C、存在方向使且D、沿有=012、对于球面,以下判断中不正确。A、沿其上任何曲线的球面的法线曲面是可展曲面B、其上大圆是渐近线C、高斯曲

8、率为正常数D、其上大圆的每一点的测地曲率为零13、曲面上,曲线(C)在P点的基本向量是,曲面在P点的单位法向量,则在P点沿切向的测地曲率。A、B、()C、D、14、若在曲面上一点,则曲面在该点的高斯曲率K。A、>0B、<0C、=0D、符号不确定15、下列直纹面中,是可展曲面。A、双曲抛物面B、挠曲线的副法线曲面C、挠曲线的切线曲面D、单叶双曲面16、若曲线的所有密切平面经过一定点,则此

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