向量三点共线定理与延伸应用归纳.doc

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1、向量三点共线定理及其扩展应用详解一、平面向量中三点共线定理的扩展及其应用一、问题的提出及证明。1、向量三点共线定理：在平面中A、B、C三点共线的充要条件是：（O为平面内任意一点），其中。那么、时分别有什么结证？并给予证明。结论扩展如下：1、如果O为平面内直线BC外任意一点，则当时A与O点在直线BC同侧，时，A与O点在直线BC的异侧，证明如下：设且A与B、C不共线，延长OA与直线BC交于A1点设（≠0、≠1）A1与B、C共线则存在两个不全为零的实数m、n且则、CA11（1）则则ABA与O点在直线BC的同侧（如图[1]）图[1]O（2）,则，此时与反向A11

2、CBA与O在直线BC的同侧（如图[2]）AO图[2]A11CBA（3），则此时A与O在直线BC的异侧（如图[3]）O图[3]BAⅡⅠⅢⅣ2、如图[4]过O作直线平行AB，Ⅵ延长BO、AO、将AB的O侧区ⅤO图[4]域划分为6个部分，并设,则点P落在各区域时，、满足的条件是：（Ⅰ）区：（Ⅱ）区：（Ⅲ）区：（Ⅳ）区：（Ⅴ）区：（Ⅵ）区：（证明略）二、用扩展定理解高考题。（1）[2006年湖南（文）10]如图[5]，点P在由射线,线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且，则实数对（、）可以是……（）A.（，）B.（，）C.（，）D.（，）解：根据向量加法

3、的平等四边形法则及扩展定理，则，且，则选C（2）[2006年湖南（理）15]如图[5]，点P在由射线，线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是。当时，的取值范围是。解：根据向量加法的平行四边形法则及扩展定理，则有：MBAOP，且当，有：，即图[5]答案为：，（，）二、向量共线定理的几个推论及其应用人教版《数学》（必修）第一册（下）P115面介绍了一个定理：向量与非零向量共线有且仅有一个实数，使=。谓之“向量共线定理”。以它为基础，可以衍生出一系列的推论，而这些推论在解决一些几何问题（诸如“三点共线”“三线共点”等）时有着广泛的应

4、用。以下通过例题来加以说明。一、定理的推论推论一：向量与向量共线存在不全为0的实数，使，这实质是定理的另外一种表述形式。推论二：三个不同点A、B、C共线存在一组全不为0的实数，使。注意推论（二）与推论（一）的区别：推论（二）中均不为零向量，而推论（一）中，向量可能含。推论三:设O、A、B三点不共线，且，（x，y∈R），则P、A、B三点共线x+y=1。这实质是直线方程的向量形式。推论四:设O为平面内任意一点，则三个不同点A、B、C共线存在一组全不为0的实数使且=0证：①当O点与A、B、C三点中任一点重合，则推论（四）即为推论（二）；②当O点与A、B、C三点

5、均不重合，则三点A、B、C共线存在s，t∈R，且s·t≠0，使得，此时，s≠-t，否则，从而B点与C点重合，这与已知条件矛盾，故有：，即：。显然s+t+[-(s+t)]=0令,故得证。推论五：设O为平面内任意一点，则三个不同点A、B、C不共线若存在实数，使且则=0。推论五实质是推论四的逆否命题。推论六：点P在ΔABO的内部（不含边界）存在正实数，使得，BN1NP1AM1MOP且。证：：如图，必要性：若点P在ΔABO的内部（不含边界），则，延长OP交AB于P1，过P作OA、OB的平行线，分别交OA，OB于M，N点，过P1作OA，OB的平行线，分别交OA，O

6、B于M1，N1点，显然，，。其中显然。由于.而充分性由上述各步的可逆性易知。事实上，我们可以将推论三与推论六整合在一起，导出推论七：推论七：已知平面内不共线向量，且。分别记过点A且与BC平行的直线为，直线BC，AB，AC分别为.则：P点在直线上；P点在直线不含A点一侧；P点在直线与之间；P点在直线上；P点在直线不含直线一侧；P点在直线不含C点一例；P点在直线含C点一侧；P点在直线不含B点一侧，P点在直线含B点一侧。l3l4l2l1P3④⑤③②⑥AP1⑧①⑦⑨BCP2证：设直线AP与直线BC相交于点，则设，则故P若在直线BC上，则,又∵共线，则,故：,则,

7、∵AB、AC不共线，则.∴（1）若P在①区域内，则01，则，，且;（3）若P在③区域内，则k<0，，且;（4）若P在④区域内，则k<0，，且;（5）若P在⑤区域内，则k<0，，且;（6）若P在⑥区域内，则01，则，;（8）若P在⑧区域内，则k>1，则，;（9）若P在⑨区域内，则k>1，则，.综上：当P点位于上方，;当P点位于下方上方，;当P点位于下方;当P点位于左边，，右边，;当P点位于左边，，右边从而得证。注：推论（七）的相关结论还可以

8、分得更细，它对解决“区域”问题很有重要的作用。二、应用举例AMBCND例1如图，