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1、常微分方程模拟试题一参考答案一单项选择题(每小题2分,共40分)1.C2.A3.D4.D5.C6.A7.B8.C9.C10.A11.D12.B13.C14.B15.A16.D17.C18.A19.B20.C二简述题(每小题3分,共15分)21.,.22..23..24.不满足利普希茨条件.25..三计算题(一)(每小题5分,共15分)26.解:对应齐方程为,易得其通解为:(C为任意常数).利用常数变易法:令,则.代入原方程整理得,积分有.原方程的通解为,(C是任意常数)27.解:记,.则因知原方程为恰当方程.将原
2、方程分项组合为.因而原方程的通解为(C是任意常数).28.解:引入参数,则原方程变为.在方程两边对x求导,得到.若,可得为解.否之分离变量并积分可得到:.由此可得原方程的参数解(C是任意常数):四计算题(二)(每小题6分,共18分)29.解:令,则.原方程化为.(对于,可得也是原方程的解)分离变量后容易得解:.利用,再次分离变量并积分,整理可得原方程的通解(是任意常数):.30.解:.即A的特征根为所对应的特征向量可取为所对应的特征向量可取为则基解矩阵为.31.解:特征方程为,特征根为.对应齐方程的通解为.设原方
3、程的特解有形如代如原方程可得.利用对应系数相等可得,故.原方程的通解可以表示为(是任意常数).五应用题(6分)32.解:设曲线方程为,切点为(x,y),切点到点(1,0)的连线的斜率为,则由题意可得如下初值问题:.分离变量,积分并整理后可得.代入初始条件可得,因此得所求曲线为.六证明题(6分)33.证明:和的伏朗斯基行列式为因和是基本解组,故.若存在,使得,则由行列式性质可得,矛盾.即最多只能有简单零点.同理对有同样的性质,故(i)得证.若存在,使得,则由行列式性质可得,矛盾.即与无共同零点.故(ii)得证.若存
4、在,使得,则同样由行列式性质可得,矛盾.即与无共同零点.故(iii)得证.
