常微分方程试题及解答.doc

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1、常微分期终测试卷(四)一、填空题1、()称为变量分离方程,它有积分因子()。2、当(        )时,方程称为恰当方程,或称全微分方程。3、函数称为在矩形域R上关于满足利普希兹条件,如果(      )。4、对毕卡逼近序列,。5、解线性方程的常用方法有(                       )。6、若为齐线性方程的个线性无关解,则这一齐线性方程的所有解可表为(               )。7、方程组(                    )。8、若和都是的基解矩阵,则和具有关系:(      )。9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时,

2、则当其实部(    )时,零解是稳定的,对应的奇点称为(    )。10、当方程组的特征方程有两个相异的特征根时,则当(      )时,零解是渐近稳定的,对应的奇点称为(     )。当(     )时,零解是不稳定的,对应的奇点称为(           )。11、若是的基解矩阵,则满足的解(         )。二、计算题求下列方程的通解。1、。2、。3、求方程通过的第三次近似解。求解下列常系数线性方程。4、。5、。试求下列线性方程组的奇点,并通过变换将奇点变为原点,进一步判断奇点的类型及稳定性:6、。三、证明题。1、设为方程(A为常数矩阵)的标

3、准基解矩阵(即,证明其中为某一值。答案一、填空题1、形如的方程     2、 3、存在常数L>0,对于所有都有使得不等式成立4、5、常数变异法、待定系数法、幂级数解法、拉普拉斯变换法6、,其中是任意常数7、个线性无关的解称之为的一个基本解组8、=为非奇异常数矩阵9、等于零稳定中心10、两根同号且均为负实数  稳定结点  两根异号或两根同号且均为正实数  不稳定鞍点或不稳定结点11、二、计算题1、解:方程可化为    令,得    由一阶线性方程的求解公式,得    所以原方程为:=1、解:设,则有,从而 ,故方程的解为,另外也是方程的解2、解:    

4、        3、解:对应的特征方程为:,解得    所以方程的通解为:4、解:齐线性方程的特征方程为,解得,故齐线性方程的基本解组为:,因为是特征根,所以原方程有形如,代入原方程得,,所以,所以原方程的通解为1、解:解得 所以奇点为( 经变换,    方程组化为 因为又 所以,故奇点为稳定焦点,所对应的零解为渐近稳定的。一、证明题1、证明:为方程的基解矩阵为一非奇异常数矩阵,所以   也是方程的基解矩阵,且也是方程 的基解矩阵,且都满足初始条件,所以

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