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1、微分方程习题参考答案ExerciseP651)Solvethefollowingequatione.Solution:Spearingvariables,weobtainIntegratingonbothsides,weobtainItfollowsthatItyieldsWhereisanarbitraryconstant.f.Solution:Spearingvariables,weobtainItfollowsthatIntegratingonbothsides,weobtainItyieldsWhereisanar
2、bitraryconstantg.解:分离系数,得到同时对两边积分,得到即其中是一个固定的常数。h.解:分离系数,得到同时对两边积分,得到即其中是一个固定的常数。注意:也是方程的一个解。2)Solvethefollowingequation:a.Solution1:weconsiderthehomogeneousequation,thegeneralsolutionisThenwesupposeisthesolutionofthelinearequation,Substitutingthesolutionintotheor
3、iginaldifferentialequation,we’llhaveItyieldsTherefore,thegeneralsolutionisWhereisanarbitraryconstant.Solution2:TheintegratingfactorisMultiplyingthedifferentialequationbythisfactor,weobtainItfollowsthatIntegratingonbothsidesoftheequation,weobtainTherefore,thegenera
4、lsolutionisWhereisanarbitraryconstant.Solution3:Substitutingintothedifferentialequation,wefindThegeneralsolutionofthehomogeneousequationiseasyfoundtobeTherefore,thegeneralsolutionoforiginalequationisWhereisanarbitraryconstant.c.解:积分因子为两边同时乘以积分因子,得到两边同时积分,得到即其中是一个固
5、定的常数。d.解:积分因子为两边同时乘以积分因子,得到两边同时积分,得到即其中是一个固定的常数。e.Solution:Integratingonbothsides,weobtainWhereisanarbitraryconstant.f.Solution:TheintegratingfactorisThen,weobtainItyieldsIntegratingonbothsides,weobtainWhereisanarbitraryconstant.3)Solvethefollowingequationb.Soluti
6、on:Theequationisexactbecause,TofoundafunctionsuchthatItiseasytofoundthatThegeneralsolutionoftheequationisWhereisanarbitraryconstant.d.解:方程是标准的,因为,寻找一个函数满足条件容易找到因此,方程的通解为其中是一个固定的常数。e.解:方程是标准的,因为,寻找一个函数满足条件(1)式(2)式将(1)式两边对积分,得到(3)式对(3)关于求导,得到(4)式将(2)式与(4)对比得到即所以有,方程
7、的通解为其中为一个固定的常数。g.解:方程是标准的,因为,寻找一个函数满足条件容易找到因此,方程的通解为其中是一个固定的常数h.Solution:ItfollowsthatTheequationisexactbecauseTofoundafunctionsuchthat,,WehaveThen,wehaveComparingwithN,wecanobtainItyieldsThegeneralsolutionisWhereisanarbitraryconstant.4)Solvethefollowingequatione.
8、解:方程可以转化为它的一个积分因子为,两边同时乘以积分因子,得到两边同时积分,得到因此,方程的通解为其中是一个固定的常数。注意,也是方程的一个解。f.Solution:ItfollowsthatTheintegratingfactorisThen,weobtainItfollowsthatIntegra