实验四.传染病模型-微分方程模型.doc

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1、实验六实验项目：传染病模型——微分方程模型实验实验目的：1.进一步巩固、加强微分方程模型的建模、求解能力；2.学习掌握用数学软件包求解微分方程数值解的相关命令。实验内容：1.建模实例，传染病问题等；2.编程求解。一、模型实例-----传染病模型•问题:有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行。现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评

2、价展望。•1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求时刻的感染人数。•2、假设环境条件下所允许的最大可感染人数为。单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。建立模型求时刻的感染人数。实验方法与步骤1、问题分析a、这是一个涉及传染病传播情况的实际问题，其中涉及传染病感染人数随时间的变化情况及一些初始资料，可通过建立相应的微分方程模型加以解决。b、问题表述中已给出了各子问题的一些相应的假设。c、在实际中，感染人数是离散变量，不具有连续可微性，不利

3、于建立微分方程模型。但由于短时间内改变的是少数人口，这种变化与整体人口相比是微小的。因此，为了利用数学工具建立微分方程模型，我们还需要一个基本假设：感染人数是时间的连续可微函数。2、问题求解2.1问题一的解答——模型一A、模型假设1)、感染人数是时间的连续可微函数；2)、单位时间内感染人数的增长率是常数，或单位时间内感染人数的增长量与当时的感染人数成正比。B、模型构成设时刻的感染人数为，初始时刻()的感染者人数为，感染者的增长率为，根据单位时间内感染人数的增长率是常数的假设，到时间内感染人数的增量

4、为：因此，满足如下的微分方程：C、模型求解：MATLAB计算求解（介绍完MATLAB求解微分方程数值解的相关命令后再运行）>>x=dsolve('Dx-r*x=0','x(0)=x0','t')x=x0*exp(r*t)即D、模型分析由上述解的形式，可以看出，感染人数将随着时间的增长按指数规律无限增长。特别地，当时间趋向于无穷时，感染人数也将趋向于无穷大。这显然是不符合现实的，说明该模型不可能用于传染病的长期预报，同时也说明迫切需要对该模型进行必要的修正。E、改进方向单位时间内感染人数的增长率不是

5、常数，而是逐渐下降的。原因：感染人数增长到一定数量后，环境条件、人口总数等因素将对感染者数量的增长起阻滞作用，且阻滞作用随感染者数量增加而变大。增长率是感染人数的减函数：感染者越多，增长率越低。2．2问题二的解答——模型二A、模型假设•1)、感染人数是时间的连续可微函数；•2)、感染人数受环境条件的限制，有一个最大的可感染人数。•3)、单位时间内感染人数的增长率和感染人数有关，是其线性函数，最大感染时对应增长率为零。B、模型构成•仍然设时刻的感染人数为，初始时刻()的感染者人数为，感染者人数为0时

6、，感染人数的增长率为。根据单位时间内感染人数的增长率和感染人数有关，是其线性函数的假设，可得增长率关于感染者人数的线性函数关系式：•进一步，由最大感染时对应的增长率为零可确定参数k的值为：•因此，在该模型的假设下，感染人数应满足如下的微分方程：C、模型求解：MATLAB计算求解（介绍完MATLAB求解微分方程数值解的相关命令后再运行）x=dsolve('Dx-r0*(1-x/xm)*x=0','x(0)=x0','t')即D、模型分析•a)、根据前述微分方程作出的曲线图，见图1-1，这是一条抛物线

7、。由该图可看出感染人数增长率随感染人数的变化规律：增长率随着感染人数的增加而先增后减，在时达到最大。这预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注和需要密切注意的时刻。因为感染人数增长率在一定程度上代表了医疗卫生水平，增长率越小卫生水平越高。所以改善保健设施、提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来。.b)、根据模型求解得到的结果作出~曲线，见图1-2，这是一条S型曲线。由该图可看出感染人数随时间的变化规律：可以看出，当时间趋于无穷时，趋于，且对一切，。此性质说明感染者数量不可能达到最大容量，但可无限趋

8、近于最大容量。二、利用MATLAB求解微分方程数值解的相关命令1指令函数及调用格式1.1指令函数：dsolve注：此指令函数用于求解微分方程(组)的符号(解析)解。1.2单变量常微分方程的调用格式：f=dsolve（‘eq’,‘cond’,‘v’)注：此调用格式用于求符号微分方程的通解或特解，其中eq代表微分方程，cond代表微分方程的初始条件（若缺少，则求微分方程的通解），v为指定自变量（如未指定，系统默认t为自变量）。1.3常微分方程组的调用格式：f=dsolve(‘eq1’,