微分几何复习(学生用).doc

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1、微分几何复习题一、填空题1.向量具有固定方向，则=。2.非零向量满足的充要条件是。3.若向量函数满足，则具有固定。4.曲线的正常点是指满足的点.5.曲线在任意点的切向量为。6.曲线在点的切向量为。7.曲线在点的切向量为。8.设曲线在P点的切向量为，主法向量为，则过P由确定的平面是曲线在P点的。9.若是曲线的正则点，则曲线在的密切平面方程是。10.曲线在点的单位切向量是，则曲线在点的法平面方程是。11.一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率。12.曲线在t=1点处有，则曲线在t=1对应的点处其挠率=。13.曲线x=cost，y=sint,z=t在t=0处

2、的切线方程是。14.曲线的主法向量的正向总是指向。15.空间曲线为一般螺线的充要条件是它的副法向量。16.曲线的曲率是。17.曲线的挠率是。18.一般螺线的曲率和挠率的关系是。19.曲率为0的曲线是,挠率为0的曲线是。20.设有曲线，当时的切线方程为。21.设有曲线，当时的切线方程为。22.曲线在点的单位切向量是，则曲线在点的向量式法平面方程是。23.曲线在点的主法向量是，则曲线在P点的从切平面方程是。24.设曲线，其中s为曲线的自然参数，则。25.半径为1的圆的挠率τ=。26.曲线在P点的挠率τ0时，表明曲线由下往上经过P点时成右旋曲线.27.向量函数

3、=(t)对任意t有′(t)⊥(t)的充要条件是。28.已知曲线=(t)在P点的单位切向量为=(0,1,0)，单位主法向量=(0,0,1)，则曲线在P点的单位副法向量=。29.曲面上曲线的弧长，交角，曲面域的面积等都是的的不变量。31.若点(u0,v0)为曲面的正则点，则在(u0,v0)满足。32.曲面在点的法线方程是。33.如果曲线族和曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为。34.已知曲面的第一类基本量为E、F、G，则两方向du:dv与垂直的充要条件是。35.对曲面有,则曲面上曲线u=u(t),v=v(t)从到t(t>)的弧长s=。36.若曲面在(0，1)

4、点处的第二基本形式，则在(0，1)点处，。其中为曲面的单位法向量。37.已知曲面的第二类基本量L、M、N，则曲面上渐近曲线的微分方程是。38.挠率的曲线其副法向量是常向量。39.曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是40.曲面上一曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称该曲线为。41.半径为R的球面的高斯曲率K=。42．在曲面上圆点，其第一、第二类基本量满足关系。43．曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件是。44．曲面上的曲纹坐标网为正交网的充要条件是。45．极小曲面是指的曲面。46．曲面上一点的主曲率是曲面在这点所有方向的的最大值和最小值.47．两个

5、曲面之间的变换是保角变换的充要条件是。48．设曲面在点P处有两个同号的主曲率，则按高斯曲率的符号分类，此点是曲面的。49．法曲率的最大值和最小值正好是曲面的曲率,使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的方向.50．距离单位球面球心距离为d(0

6、条件是。57．方向是主方向的充要条件是。58．根据罗德里格定理，如果方向是主方向，则，其中是曲面沿方向(d)的法曲率。59．若曲面S为平面,则其第二基本形式Ⅱ=。60．曲面上使的点叫做曲面上的正常点.61．曲面之间的一个变换，如果使两曲面间对应曲线的交角相等，则称这个变换为。62．若曲面在(0,1)点处的第二基本形式Ⅱ=du2+3dv2,为曲面的单位法向量，则在(0,1)点处，=。二、单项选择题1．曲率和挠率均为非零常数的曲线是()A.直线；B.圆；C.圆柱螺线；D.平面曲线2．曲线的下列各量中,不是容许参数变换下的不变量的是是()A.曲率；B.挠率；C

7、.弧长；D.切向量3．过空间曲线上点（非逗留点）的切线和点的邻近点的平面，当沿曲线趋于点时，平面的极限位置是曲线在点的()A.法平面；B.密切平面；C.从切平面；D.切线面4.圆柱螺线在点的切线为()A．；B.；C.；D.。5.圆柱螺线的切线与轴()Ａ.平行；　　　　　　　Ｂ.垂直；Ｃ.有固定夹角；　　　Ｄ.有固定夹角。6.设有平面曲线，为自然参数，是曲线的基本向量．下列叙述错误的是()Ａ.为单位向量；　　　Ｂ.；Ｃ.；　　　　　Ｄ.。7.直线的曲率k为()Ａ.–１；　Ｂ.０；Ｃ.１；　Ｄ.２。8.关于平面曲线的曲率,为自然参数,不正确的是()Ａ.；Ｂ.

8、，为的旋转角；Ｃ.；Ｄ.。9.设曲线在P(s)点的基本向量是,则下列论述不正确的