拓扑学基础答案.doc

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1、拓扑学基础（数学教育本科）试卷参考答案一、单项选择题1、C2、A3、B4、A5、A6、C7、D8、A9、B10、D二、填空题11、满射12、同胚13、A的补集是一个开集14、15、可分16、一17、和连通18、X，19、Y中每一个开集U的原象是X中的一个开集三、名词解释题1、如果存在一个从集合X到正整数集Z+的单射，则称集合X是一个可数集。2、设X是一个集合，是X的一个子集族，如果满足如下条件：（1），（2）若A，，则，（3）若，则，则称是X的一个拓扑。偶对（X，）是一个拓扑空间。3、设X和Y是两个拓扑空间，如果f:

2、X→Y是一个一一映射，并且f和f-1:Y→X都是连续的，则称f是一个同胚映射。4、设X是一个拓扑空间，如果对于任何、，存在X中的一条从到的道路（或曲线），则称X是一个道路连通空间。5、一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个A1空间。6、一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个A2空间。7、设X是一个拓扑空间，如果X的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X是一个Lindelöff空间。8、设X是一个拓扑空间，如果X中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各有一个开

3、邻域，它们互不相交，则称拓朴空间X是一个正则空间。9、设X是一个拓扑空间，如果X的每一个开覆盖有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个紧致空间。10、设X是一个拓扑空间，如果X的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个可数紧致空间。四、判断题1、√2、√3、×4、×5、√6、×7、√8、×9、√10、×11、√12、×五、解答与证明题1、解：（1）不是X的拓扑，这是因为，，但（2）是X的拓扑，满足拓扑的定义2、证∵3、证：∵，故，∴5、设Y是紧致空间X中的一个闭子集，如果是Y的一个覆盖，它由X中的开集构成，

4、则={}是X的一个开覆盖，设是的一个有限子族并且覆盖X，则便是的一个有限子族并且覆盖Y，这说明Y是X的一个紧致子集。6、设和A是一个不包含的闭集，这时A的补集是的一个开邻域，由题设条件可知，有的开邻域U使得，令V=，则有，所以V是A的一个开邻域，并且，故X是一个正则空间。