拓扑学江辉有编第二章答案.doc

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1、《拓扑学》第一次作业参考解答2.1证明：只需验证满足三条拓扑公理：（1）由的定义知，（2）对于的任一子族，其中每个如果存在，则显然否则若有上确界，那么；若没有上确界，那么总之，恒有（3）设为任意两个元素，则如果中至少有一个为，则如果，则如果都是常数，不妨设，则因此总有成立。因此，确实是上的一个拓扑。■2.2证明：设是集合上的两个拓扑，下面验证满足三条拓扑公理：（1）由于，故同样地，由于，故（2）设U是的任一子族，则U是的子族，也是的子族。由于是集合上的两个拓扑，故U，且U，从而U（3）设，则且由于是集合上的两个拓扑，故，且，从而可见满足

2、三条拓扑公理，因此是上的一个拓扑。但是，却未必是上的一个拓扑。例如，令，并设则不难验证，是集合上的两个拓扑。然而，却不是上的一个拓扑。因为，但是故不满足拓扑公理（2），因而不是拓扑！当然，也有可能成为一个拓扑，比如当时就可以。■2.3证明：若，则令，则于是为完成证明，只需证明事实上，若存在，则由距离的三角不等式得从而，矛盾！因此这表明是的内点，故由的任意性知，是开集，从而是闭集。另一方面，若，令，则不难验证是上的一个度量。对于度量空间、正数和实数，容易看出有，可见此时并不成立。■2.4证明：设，则由于是开集，故对于任一，也有故由及命题2

3、.4可知，必有，也即有由的任意性及命题2.4，可知有再由的任意性即知有■2.5证明：（充分性）设的每个非空开子集与有非空的交，则，都有由命题2.4知，于是由的任意性知，有，即可见是的稠密子集。（必要性）若是拓扑空间的稠密子集，则依定义有于是对于的每个非空开子集，任取，则，由命题2.4知，必有因此的每个非空开子集与有非空的交。■2.6证明：设和都是拓扑空间的稠密子集，并且是开集，又设是的任一非空开集，则由的稠密性和习题2.5的结论可知，因为是开集，故也是开集，再由的稠密性和习题2.5的结论可知，，即于是由的任意性和习题2.5的结论可知，是

4、的稠密子集。如果不是开集，结论就未必正确了。比如，在实直线中，有理数集和无理数集都是稠密子集，但是它们的交集显然不是稠密子集。■2.7证明：设点列，记，则是一个可数集，因此也是可数集，因此，由收敛性定义，存在正整数，当时，因此当时，这是显然的，由收敛性定义直接可知。■2.8证明：（1）设，则因此可以取一个，这个点列显然满足要求；反过来，如果存在中异于的点列使得那么对于任一，存在使得，同时存在自然数，当时，，从而因此，这表明由聚点的定义可知，（2）若，则当时，显然；否则，此时由（1）知，存在中异于的点列使得从而必有因此反过来，如果则对于任

5、一，存在使得，而由知，存在使得，从而故由命题2.4知，因此也有综上可知，■2.9解：对于任一，取，则显然，并且容易看出，（当时）因此由习题2.8知，取点列，则不难看出，，并且容易看出在中因此此外，如果平面中的一个点满足下列三个条件之一：①；②；③则不难找到点的一个邻域使得因此最后可得：■2.11证明：先证明是上的一个拓扑，只需验证它满足三条拓扑公理：（1）显然，都满足上述条件，因此；（2）设为的任一子族，令，若，则由所满足的条件知，的每个因数都在中，从而的每个因数都在中，故；（3）设，不妨设若，则，且由所满足的条件知，的每个因数都在中，

6、同时也都在中，从而的每个因数都在中，故可见，满足三条拓扑公理，因此是上的一个拓扑。因为是任何一个正整数的因数，因此因此，不是中的开集。由此可知，不是离散拓扑。■2.13证明：首先，由于总是成立的，故当是闭集时，必有其次，，由于，显然也有因此自然地又有故当是闭集时，然而，下面这个例子表明，当不是闭集时，未必成立。比如，在中，对每个，令，则，然而因此此时■2.17证明：（1）显然只需证明两个集的交集还是集就可以了。设是任意两个集，其中每个都是闭集。则由于每个都是闭集，故是集。（2）显然只需证明两个集的并集还是集就可以了。设是任意两个集，其中

7、每个都是开集。则由于每个都是开集，故也是集。（3）设是任一集，其中每个都是闭集，则是开集，从而是集；反过来，如果是任一集，其中每个都是开集，则每个都是闭集，因此是一个集。■