隐函数与参数方程求导法则.doc

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1、5.3隐函数与参数方程求导法则一、隐函数求导法则表示函数（对应关系）有多种不同的方法，其中有这样一种方法，自变量x与因变量y的对应关系是由二元方程F（x，y）=0所确定。定义设有两个非空数集A与B.若，由二元方程F（x，y)=0对应唯一一个，则称此对应关系（或写为y=（x))是二元方程F(x，y)=0确定的隐函数。由隐函数的定义看到，二元方程F(x，y)=0确定的隐函数y=（x)（，）必是二元方程F(x，y)=0的解，因此，，有F[x，f(x)]=0(或F[x，f(x)]0）.例如，二元方程F(x，y)=2x-3y-1

2、=0在R确定（从中解得）一个隐函数。事实上，，由二元方程对应唯一一个,且F（x,)=2x-3-10.二元方程F(x，y)=x+y-a=0(a>0)在A=[-a，a]确定两个连续的（B=[0，+)与B=（-，0])隐函数。事实上，，由二元方程对应唯一一个=,且与，且于是，二元方程F(x，y)=x+y-a=0在A=[-a，a]确定了两个连续的隐函数。与。这两个隐函数的图像是以原点为心以a为半径的在区间的上半圆周与下半圆周，如图5.5由此可见，所谓隐函数就是对应关系不明显的隐含在二元方程之中，相对隐函数来说，对应关系“明显”

3、的函数，例如，，，，等等，就是显函数。在本节之前，所遇到的函数绝大多数都是显函数。值得注意的是，有些二元方程确定的隐函数并不能用代数方法从中解出来，换句话说，隐函数不是初等函数或不能化为显函数。关于隐函数的存在性、连续性和可微性等理论问题将在第十一章介绍。本节所讨论的隐函数都是存在的，可导的。直接对隐函数所满足的方程求导，往往更便利些。由于二元方程确定的隐函数，有.应用复合函数求导法则对恒等式两端求导数，即可求得隐函数的导数。下面举例说明隐函数的求导法则：例1求方程确定的隐函数的导数。解方程两端对求导数，由复合函数的求

4、导法则（注意，是的函数），有，，，解得隐函数的导数.例2求方程确定的隐函数的导数。解方程两端对求导数，由复合函数的求导法则（注意，是的函数），有，解得隐函数的导数.例3证明过双曲线上一点的切线方程是.（1）证明首先求过点的切线斜率,即求双曲线确定的隐函数的导数在点的值.，.解得.在点的切线斜率.从而，切线方程是或.因为点在双曲线上，所以.于是，所求得切线方程是.当时，有.过双曲线上点的切线方程是，也满足（1）式.例4证明抛物线上任意点的切线在两个坐标轴上截距的和等于.证明在抛物线上任取一点，即.求抛物线在点的切线斜率.

5、由隐函数求导法则，有或.从而斜率.在点的切线方程是.它在轴与轴上的截距分别是与.于是，二截距之和是（）+（）====.求某些显函数的导数，直接求它的导数比较繁琐，这时可将它化为隐函数，用隐函数的求导法则求其导数，比较简单些。将显函数化为隐函数常用的方法是在等号两端取绝对值再取对数，这就是对数求导法。适用于幂指函数以及其他一些函数.现举例如下：例5求函数的导数。解等号两端取绝对值的对数，有.由隐函数的求导法则，有，即.例6求幂指函数的导数。解将幂指函数等号两端取对数，有.按隐函数求导法，对上式等号两端求导，有，由此得到.

6、例7求函数的导数.解等号两端取绝对值的对数，有由求导数法则，有，即.一、参数方程求导法则参数方程的一般形式是若与都可导，且，又存在反函数，则是的复合函数，即，.由复合函数与反函数的求导法则，有.这就是参数方程的求导公式。例8求椭圆上一点的切线斜率.解法一点在上半椭圆上，从椭圆方程中解出上半椭圆方程是，.则解法二由隐函数求导法，有或，则.解法三将椭圆化为参数方程.点对应的参数.由参数方程求导法，有则.例9设炮弹的弹头初速度是，沿着与地面成角的方向抛射出去，求在时刻时弹头的运动方向（忽略空气阻力，风向等因素）.解已知弹头关

7、于时间的弹道曲线的参数方程是其中是重力加速度（常数）.由参数方程的求导法，有设在时刻弹头的运动方向与地面的夹角为，有或