2016中考命题研究数学（河北）综合专题闯关：专题四猜想与证明（练习无答案）.doc

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1、专题四　猜想与证明1．猜想与证明问题河北中考近8年共考查8次，为每年必考内容，都是以解答题的形式出现，分值为9－14分．2．考查类型：(1)与图形的位似有关，探究两条边之间的关系，此类题在2012年考查过一次，主要是利用三角形的性质来解决，分值为9分；(2)与尺规作图有关，利用正方形的性质探究边与边之间的关系，其中有一问会涉及到如何作图，此题在2011年考查过一次，分值为9分；(3)与旋转有关，主要是利用旋转前后的性质，分别涉及到直线和正方形，在2010年和2009年考查过，分值为10分，在2013年考查过，分值为11分；(4)折叠问题主要是折叠过

2、程中对图形变化具体情况的分析，此题在2014年考查过，分值为11分；与图形的折叠、平移有关，2015年考查，分值14分，平移问题主要是用到了平移前后的性质和三角形的性质，探究边与边之间的关系，在2008年考查过，分值为10分．预计2016年河北中考仍会重点考查此内容，在训练时多做涉及利用三角形全等、三角形相似等有关的知识的综合题．,中考重难点突破)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　与图形旋转有关的问题【经典导例】【例1】(2010河北中考)在图①至图③中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1＝∠2＝45°.(1)如图①，若AO＝OB，请写出AO与BD

3、的数量关系和位置关系；(2)将图①中的MN绕点O顺时针旋转得到图②，其中AO＝OB.求证：AC＝BD，AC⊥BD；(3)将图②中的OB拉长为AO的k倍得到图③，求的值．【学生解答】【方法指导】(1)在探索两线段的数量关系时常以三角形全等或者相似为工具，由对应角的关系得到两线段相等或者成对应比例．有时需先进行等量代换，将两线段放到相似三角形或全等三角形中，若出现直角三角形，则利用直角三角形的性质求解．(2)两线段的位置关系通常为平行或垂直．先观察图形，根据图形先推测两线段的位置关系是平行或垂直．若平行，则常通过以下方法进行证解：①平行线的判定定理；②平行

4、四边形对边平行；③三角形中位线性质等．若垂直，则可考虑以下途径：①证明两线段所在直线夹角为90°；②两线段是矩形的邻边；③两线段是菱形的对角线；④勾股定理的逆定理；⑤利用等腰三角形三线合一的性质等方式证明．1．(2015重庆中考)在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F.(1)如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB＝4，求BE的长；(2)如图2，将(1)中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F.求证：BE＋CF＝AB；(

5、3)如图3，将(2)中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线交与点F，作DN⊥AC于点N，若DN＝FN，求证：BE＋CF＝(BE－CF)．2．(2015龙东中考)已知△ABC中，M为BC的中点，直线m绕点A旋转，过B、M、C分别作BD⊥m于D，ME⊥m于E，CF⊥m于F.(1)当直线m经过B点时，如图①，易证EM＝CF(不需证明)；(2)当直线m不经过B点，旋转到如图②、图③的位置时，线段BD、ME、CF之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明．　与图形相似、位似有关的问题【经典导例】【例2】(201

6、4河北中考)如图①，点E是线段BC的中点，分别以B，C为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰直角三角形，且在BC的同侧．(1)AE和ED的数量关系为________，AE和ED的位置关系为________；(2)在图①中，以点E为位似中心，作△EGF与△EAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连接GH，HD，分别得到了图②和图③.①在图②中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相似比是1∶2，H是EC的中点．求证：GH＝HD，GH⊥HD.②在图③中，点F在BE的延长线上，△EGF与△EAB的相似比是k∶1，若BC＝2，请直接写出CH的长为多少时，恰好使得

7、GH＝HD且GH⊥HD(用含k的代数式表示)．【解析】(1)由△ABE≌△DCE可得，AE＝DE.由AB＝BE＝EC＝CD，可知∠AEB＝∠DEC＝45°，所以∠AED＝90°，故AE⊥ED.(2)由△HGF≌△DHC可证GH＝HD，GH⊥HD；由BC＝2，可知BE＝EC＝1，又∵EF＝k，∴当CH＝k时可得CH＝FG＝k，从而证明△HFG≌△DCH，得到GH＝HD，GH⊥HD.【学生解答】【方法指导】(1)在探索两线段的数量关系时常以三角形全等或者相似为工具，由对应角的关系得到两线段相等或者成对应比例．有时需先进行等量代换，将两线段放到相似三角形或全

8、等三角形中，若出现直角三角形，则利用斜边的中线等于斜边的一半或30°角所对的直角边为斜边的一半