2013全国数学联赛初中数学试题及答案-打印版.doc

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1、2013年全国初中数学竞赛试题班级姓名成绩供稿人：李锦扬一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设非零实数，，满足则的值为（）．（A）（B）（C）（D）2．已知，，是实常数，关于的一元二次方程有两个非零实根，，则下列关于的一元二次方程中，以，为两个实根的是（）．（A）（B）（C）（D）（第3题）3．如图，在Rt△ABC中，已知O是斜边AB的中点，CD⊥A

2、B，垂足为D，DE⊥OC，垂足为E．若AD，DB，CD的长度都是有理数，则线段OD，OE，DE，AC的长度中，不一定是有理数的为（）．（A）OD（B）OE（C）DE（D）AC（第4题）4．如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）．（A）3（B）4（C）6（D）85．对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为：，且，则的值为（）．（A）（B）（C）（D）二、填空题6．设，b是的小数部分，则的值为．（第7题）7．如图，

3、点D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，直线BD与CE交于点F，已知△CDF，△BFE，△BCF的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD的面积是．8．已知正整数a，b，c满足，，则的最大值为．9．实数a，b，c，d满足：一元二次方程的两根为a，b，一元二次方程的两根为c，d，则所有满足条件的数组为．10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了支圆珠笔．三、解答题（第

4、11题）11．如图，抛物线，顶点为E，该抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．直线与轴交于点D．求∠DBC-∠CBE．12．设△的外心，垂心分别为，若共圆，对于所有的△，求所有可能的度数．13．设，，是素数，记，当时，，，能否构成三角形的三边长？证明你的结论．14．如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整

5、数，满足对任意一个正整数m，在中都至少有一个为m的魔术数．2013全国数学联赛试题参考答案一、选择题1．设非零实数，，满足则的值为（）．（A）（B）（C）（D）【答案】A【解答】由已知得，故．于是，所以．2．已知，，是实常数，关于的一元二次方程有两个非零实根，，则下列关于的一元二次方程中，以，为两个实根的是（）．（A）（B）（C）（D）【答案】B【解答】由于是关于的一元二次方程，则．因为，，且，所以，且，，于是根据方程根与系数的关系，以，为两个实根的一元二次方程是，即．（第3题）3．如图，在Rt△A

6、BC中，已知O是斜边AB的中点，CD⊥AB，垂足为D，DE⊥OC，垂足为E．若AD，DB，CD的长度都是有理数，则线段OD，OE，DE，AC的长度中，不一定是有理数的为（）．（A）OD（B）OE（C）DE（D）AC【答案】D【解答】（第3题答题）因AD，DB，CD的长度都是有理数，所以，OA＝OB＝OC＝是有理数．于是，OD＝OA－AD是有理数．由Rt△DOE∽Rt△COD，知，都是有理数，而AC＝不一定是有理数．（第4题）4．如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线

7、上，且，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）．（A）3（B）4（C）6（D）8【答案】C【解答】因为DCFE是平行四边形，所以DE//CF，且EF//DC．（第4题答题）连接CE，因为DE//CF，即DE//BF，所以S△DEB=S△DEC，因此原来阴影部分的面积等于△ACE的面积．连接AF，因为EF//CD，即EF//AC，所以S△ACE=S△ACF．因为，所以S△ABC=4S△ACF．故阴影部分的面积为6．5．对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为：，且，则的值为（）．（A）（B）

8、（C）（D）【答案】C【解答】设，则，于是．二、填空题6．设，b是的小数部分，则的值为．【答案】【解答】由于，故，因此．（第7题）7．如图，点D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，直线BD与CE交于点F，已知△CDF，△BFE，△BCF的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD的面积是．【答案】【解答】如图，连接AF，则有：（第7题答题），，解得，．所以，四边形AEFD的面积是．8．已知正整数a，b，c满足，，则的最大值为．【答案】【解答】由已知，消去c，并整理得．