2019_2020学年高中数学第一章立体几何初步4.2.2空间图形的公理（二）学案北师大版必修2.docx

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1、4.2　空间图形的公理(二)[学习目标]　1.掌握公理4及等角定理．　2.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角.【主干自填】1．公理4(1)文字表述：平行于同一直线的两条直线互相平行．(2)符号表述：a∥b且b∥c⇒a∥c.(3)含义：揭示了空间平行线的传递性．2．等角定理(1)研究对象：在空间中的两个角．(2)条件：两边分别对应平行．(3)结论：这两个角相等或互补．3．异面直线所成的角【即时小测】1．思考下列问题(1)两条互相垂直的直线一定相交吗？提示：不一定．

2、只要两直线所成的角是90°，这两直线就垂直，因此，两直线也可能异面．(2)公理4及等角定理的作用是什么？提示：公理4又叫平行线的传递性．作用主要是证明两条直线平行．等角定理的主要作用是证明空间两个角相等．2．一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条(　　)A．相交B．异面C．相交或异面D．平行提示：C　如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1与A1D1，AD相交，与BC异面．3．空间中有两个角α

3、，β，且角α，β的两边分别平行．若α＝60°，则β＝________.提示：60°或120°　因为α与β两边对应平行，但方向不确定，所以α与β相等或互补．例1　如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD.[证明]　(1)如题图，在△ABD中，∵EH是△ABD的中位线，∴EH∥BD，EH＝BD.又FG是△CBD的中位线，∴FG∥BD，FG＝BD，∴FG∥EH，∴E，F，G，H四点共面，

4、又FG＝EH，∴四边形EFGH是平行四边形．(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.又∵四边形EFGH是矩形，∴EH⊥GH，∴AC⊥BD.类题通法空间中证明两直线平行的方法(1)借助平面几何知识证明，如三角形中位线性质、平行四边形的性质、用成比例线段证平行等．(2)利用公理4证明，即证明两直线都与第三条直线平行．　已知棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点．求证：四边形MNA′C′是梯形．证明　连接AC.∵M，N为CD，AD的中点，∴MN綊AC.由正方体性质可知AC綊

5、A′C′，∴MN綊A′C′.∴四边形MNA′C′是梯形.例2　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点．求证：∠EA1F＝∠F1CE1.[证明]　如图，取A1B1的中点M，连接F1M，BM，则MF1綊B1C1，又B1C1綊BC，所以MF1綊BC.所以四边形BMF1C为平行四边形，所以BM∥CF1.因为A1M＝A1B1，BE＝AB，且A1B1綊AB，所以A1M綊BE，所以四边形BMA1E为平行四边形，所以BM∥A1E，所以A1E∥CF1.同理可

6、证A1F∥CE1.因为∠EA1F的两边与∠F1CE1的两边分别对应平行，且方向都相反，所以∠EA1F＝∠F1CE1.类题通法求证两角相等的两种方法(1)应用等角定理，在证明的过程中常用到公理4，注意两角对应边方向的讨论．(2)应用三角形全等或相似．　长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．求证：(1)D1E∥BF；(2)∠B1BF＝∠D1EA1.证明　(1)取BB1的中点M，连接EM，C1M.在矩形ABB1A1中，易得EM綊A1B1，∵A1B1綊C1D1，∴EM綊C1D1，∴

7、四边形EMC1D1为平行四边形，∴D1E∥C1M.在矩形BCC1B1中，易得MB綊C1F，∴BF∥C1M，∴D1E∥BF.(2)∵ED1∥BF，BB1∥EA1，又∠B1BF与∠D1EA1的对应边方向相同，∴∠B1BF＝∠D1EA1.例3　如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是A1B1、B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．[解]　解法一：如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G.则OG∥B1D，EF∥A1C1.∴∠GO

8、A1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.解法二：如图所示，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，则HE綊DB1.于是∠HEF为所求异面直线DB1与EF所成的角或其补角．连接HF，设AA1＝1，则EF＝，HE＝，取A1D1的中点I，连接HI，IF，则HI⊥IF.∴HF2＝HI2＋IF2＝.又∵EF2＋HE2＝，∴H