武汉科技大学试题-线性代数2010-2011-1线性代数（本科）A卷答案.doc

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1、武汉科技大学2010-2011-1线性代数期末试卷(本科A)解答与参考评分标准一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．满足下列条件的行列式不一定为零的是（A）。(A）行列式的某行（列）可以写成两项和的形式;（B）行列式中有两行（列）元素完全相同;（C）行列式中有两行（列）元素成比例;（D）行列式中等于零的个数大于个.2．下列矩阵中（C）不满足。(A）;（B）;（C）;（D）.3.设为同阶可逆方阵,则(D)。(A)；(B)存在可逆矩阵；(C)存在可逆矩阵；(D)存在可逆矩阵.4．向量组线性无关的充分必要条件是（D）（A）均不为零向量；（B）中有一部分向量组线

2、性无关；（C）中任意两个向量的分量不对应成比例；（D）中任意一个向量都不能由其余个向量线性表示。5．零为方阵A的特征值是A不可逆的（B）。（A）充分条件；（B）充要条件;（C）必要条件;（D）无关条件.二、填空题（每小题3分，共15分）6．设，则=0。7．已知设则；8．设是三阶方阵，且，则27；9．已知向量组则该向量组的秩为2;10.已知，，且于相似，则6。三、计算题（每小题10分，共50分）11．解：5分8分10分12．已知3阶非零矩阵的每一列都是方程组的解.①求的值；②证明.解：①因为非零矩阵的每一列都是齐次方程组的解，所以齐次线性方程组有非零解，即5分

3、②由题意可得，8分因为，所以，即不可逆，所以10分注：第二问也可以用反证法，方法对即可。13．设3阶矩阵满足等式,其中求矩阵。解：3分8分所以。10分14．求向量组的秩及最大无关组。解：，6分所以，任意两个不成比例的向量组均是的一个极大无关组。10分15.设1.求二次型所对应的矩阵；2.求的特征值和对应的特征向量。解：1.二次型所对应的矩阵，3分2．（二重）6分当时，，所以为对应的特征向量。8分当时，，所以为对应的特征向量。10分四、解答题（10分）16．，已知向量试讨论为何值时（1）不能用线性表示；（2）可由唯一地表示，并求出表示式；（3）可由表示，但表示

4、式不惟一，并求出表示式.解：问题转化为方程组求解问题增广矩阵5分（1）时,(若则,若则)方程组无解，即不能用线性表示6分（2）时，，方程组有唯一解，即可由唯一地表示，求表示式：8分（3）时，，可由表示，但表示式不惟一，求表示式：，10分五、证明题（每小题5分，共10分）17．设是一组维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一维向量都可由它们线性表示。证明：充分性：是一组维向量，任一维向量都可由它们线性表示。因此有可由线性表示，因此有线性无关。3分必要性：线性无关，因此有线性相关，即有惟一解，所以向量可由向量组线性表示，由的任意性可得任一维向量都可由线性表

5、示。5分18．设为对称矩阵，为反对称矩阵，且可交换，可逆，证明：是正交矩阵。证明：为对称矩阵，为反对称矩阵，可交换，2分4分所以是正交矩阵。5分