超越强化班 常微分方程题解(07.20).doc

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1、P105--例1微分方程满足的特解为.解:解得,由则方程的特解为或P105--例2微分方程的通解为.解:为齐次方程令,而,比较两式得有为方程的通解P105--例3微分方程满足的解为.解:方程即为,通解为:由,所以P105--例4微分方程的通解为.解:,通解为P106--例5设是一阶线性非齐次微分方程的两个特解,若常数使是该方程的解,是该方程对应的齐次方程的解,求与.解:因是非齐次方程的解,故.即.又因是对应齐次方程的解,故,即.所以,解得P106--例6设非负函数具有一阶导数,且满足,求函数.解:设,则,两边对求导,得,由已知又,则P106--例7设,其中满足下列

2、条件:,,且,.①求满足的一阶方程;②求的表达式.解:(1)由,可见,所满足的一阶微分方程为.(2)由通解公式有.将代入上式,得.于是.P107--例1解方程.解:的特征方程为则方程的通解为P107--例2解方程.解:的特征方程为则方程的通解为P108--例1写出下列方程的特解形式.①;解:的特征方程为由于不是特征根,故可设原方程的一个特解为②;解:的特征方程为由于是特征重根,故可设原方程的一个特解为③;解:的特征方程为由于不是特征根,故可设原方程的一个特解为④;解:的特征方程为由于是特征单根,故可设原方程的一个特解为⑤;解:的特征方程为由于是特征根,故可设原方程

3、的一个特解为⑥.解:的特征方程为对,由于不是特征根,故可其一个特解为对,由于是特征根,故可其一个特解为则原方程的一个特解可设为P108--例2方程的通解为.解:的特征方程为,则齐次方程的通解为,由于是特征单根,故可设原方程的一个特解为,将代入原方程,解得,则原方程的通解为P108--例3解方程解:,而①若,设特解为,代入方程解得,所以特解为:,则通解为②若,设特解为,代入方程解得,所以特解为:则通解为P108--例4①验证函数满足方程;②利用①的结果求级数的和函数.(数二不要求)【解题思路】要验证函数满足方程,只需把它代入方程,求幂级数的和只需解此微分方程.解:①

4、因为则②二阶常系数微分方程相应的齐次方程为,其特征方程为特征根为因此齐次微分方程的通解为设非齐次方程的特解为,代入原方程得于是,原方程的通解为显然满足初始条件,代入得故幂级数的和函数P109--例1利用变量代换()化简微分方程,并求满足,的特解.解:,代入原方程得由,,解得则方程的满足,的特解为.P109--例2设在内有二阶导数且,①试将所满足的微分方程变换为满足的微分方程.②求变换后的微分方程满足初始条件,的解.【解题思路】应用关系式,求出二阶导数的关系式后代入方程化简并求解方程.解:,代入原方程得由,,解得则方程的满足初始条件,的特解为P109--例3设函数具

5、有二阶连续导数,而满足方程,求.【解题思路】利用复合函数的微分法将上面的偏微分方程转化为关于的常微分方程,从而求出函数.解:由,设,代入到中得:,即有P109--例1设其中为连续函数,求.【解题思路】先在等式两边对求导,消去变限积分,将原方程化为关于未知函数的微分方程,再求解此微分方程.解:原方程整理得,两边求导,再两边求导得,整理得(初始条件到原方程中找)解得P110--例1设,,都是非齐次线性方程的特解.,为任意常数,则函数(D).(A)是方程的通解(B)不是通解(C)是特解(D)可能是也可能不是通解,但一定不是特解P110--例2设为某二阶常系数齐次线性方程

6、的通解,则该方程为.【解题思路】本题已知方程的通解,反求微分方程.一般根据通解性质得出特征方程的根,从而得出特征方程,由此可得微分方程.解:是二阶常系数齐次线性方程的特征方程的特征根,即有为所求二阶常系数齐次线性方程.P110--例3函数满足的一个二阶常系数非奇次线性方程是.解:是二阶常系数齐次线性方程的特征方程的特征根,即有为所求二阶常系数非齐次线性方程对应的齐次方程.设二阶常系数非奇次线性方程为,将代入上式,可得则函数满足的一个二阶常系数非奇次线性方程是P110--例4已知为某二阶线性非齐次方程的三个特解,求其通解及该方程.解:均为对应的齐次方程的特解,所以为

7、特征方程的两个根.则对应的齐次方程为设所求非齐次方程为,把代入方程可得:所以原方程为.其通解为P111--例1方程的通解为.【解题思路】所给方程不显含,属于型可降阶方程.解:令,原方程变为所以P111--例2方程,满足,的特解为________.【解题思路】所给方程不显含,属于型可降阶方程.解:令,原方程变为,由所以由则为方程,满足,的特解.P111--例3解方程.【解题思路】所给方程不显含,属于型可降阶方程.解:令,原方程变为通解为,即代入初始条件得,则为所求.P111--例1方程的通解为.(数学一)解:令,上方程化为通解为P113--例1设曲线位于平面的第一象

8、限,上任一

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