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《（李荣荣）12.9 基于优化方法的常微分方程边值问题数值解.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、12.9基于优化方法的常微分方程边值问题数值解常微分方程边值问题的一般形式为：（12-2）（12-3）式中：表示边界条件所满足的函数关系。12.9.1基于Matlab函数的求解方法Matlab求解边值问题的函数为bvp4c，它采用有限差分法求解，其基本格式为：solinit=bvpinit(x,yinit,params)y=bvp4c(odefun,bcfun,solinit)函数bvpinit输入参数依次为自变量的区间[],函数的一个猜测值。函数bvp4c的输入参数依次为一阶微分方程或一阶微分方程组，用函数odefun定义，边界条件用函数bcfun定义，这两个函数名用户自行定义。【例12-1
2、】求解二阶常微分方程解：令的取值区间为[]，和的猜测值分别为0和2。计算程序为：functionode_bvp1clc;clf;clearall;solinit=bvpinit(linspace(0,4,5),[10]);sol=bvp4c(@twoode,@twobc,solinit);x=linspace(0,4);y=deval(sol,x);plot(x,y(1,:));%图12.18functiondydx=twoode(x,y)dydx=[y(2)-abs(y(1))];14functionres=twobc(ya,yb)res=[ya(1)yb(1)+2];图12.18例12.1
3、数值解曲线12.9.2求解两点边值问题的打靶法打靶法采用求初值的方法求解边值问题。用求解初值的方法求解式（12-2）和式（12-3）描述的问题时，缺少处的条件。如果能找到合适的值，通过求解恰好能使计算出的等于给定的边界值，则问题就得到解决。显然，寻找的过程是一个反复迭代的过程。就好比打靶，子弹以合适的角度和初速度射出才能命中目标。这就是打靶法的基本思想。设一两点边值问题为：，(12-4)对应的初值问题为：，（12-5）由该初值问题求解得出的另一端边界值为：；则应满足的方程为：。14因此，应用求初值问题的方法求边值问题转换成求上述方程的根的问题。求一元函数根的方法很多，下面是用插值修正的方法求初
4、始值，其迭代格式为：【例12-2】求二阶常微分方程的解。解：该方程对应的一阶微分方程组为：初始条件为：（猜测值），计算程序如下functionshoot1clc;ii=0;tol=1e-9;xspan=[0,2];guess=1;g1=guess;target=1;y0=[0;g1];[x,y]=ode45(@dEqs,xspan,y0);t1=y(end,1)subplot(2,1,1);plot(x,y(:,1))g2=1.1*g1;y0=[0;g2];[x,y]=ode45(@dEqs,xspan,y0);t2=y(end,1)subplot(2,1,2);plot(x,y(:,1))w
5、hileabs(t2-target)>tolg=g2+(g2-g1)*(target-t2)/(t2-t1);t1=t2;y0=[0,g];[x,y]=ode45(@dEqs,xspan,y0);t2=y(end,1);g1=g2;14g2=g;g,g1,g2,t1,t2ii=ii+1;ifii>200breakendendfigure(2)plot(x,y(:,1))x,yfunctionF=dEqs(x,y)%First-orderdifferentialF=[y(2);-3*y(1)*y(2)];%equations.计算结果为：y(0)=0,1.5145,y(2)=1,0.0145。1
6、2.9.3边界层微分方程组及相似解边界层微分方程组包括连续性方程，动量方程和能量方程，在二维稳态流动情况下：对于强迫对流连续性方程为（12-6）动量方程为（12-7）在边界层外缘（12-8）能量方程为，无量纲温度（12-9）对于自然对流，动量方程为（12-10）在边界层外缘（12-11）14能量方程的形式与（12-9）式相同，而无量纲温度通常表示为：。通过引入流函数和相似变换，动量方程和能量方程变为只依赖单个相似变量的常微分方程。对于强迫对流（12-12）无量纲流函数（12-13）相似变量（12-14）取外流速度，动量方程变为（12-15）此式是Falkner-Skan方程的另一种形式，当时，
7、则变成Blasius方程。式中，,为楔形体夹角。能量方程变为（12-16）边界条件为（12-17）对于自然对流无量纲流函数（12-18）相似变量（12-19）动量方程变为（12-20）14能量方程变为（12-21）边界条件为（12-22）12.9.4流函数方程和温度方程的求解1.应用打靶法求解Blasius方程方程（12-15）、（12-16）、（12-20）、（12-21）为带渐近边界条件的两点
