2019届高考数学专题2函数与导数第2讲综合大题部分增分强化练文.docx

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1、第2讲　综合大题部分1．(2018·青岛模拟)已知函数f(x)＝aex－x－a，e＝2.71828…是自然对数的底数．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)恰有2个零点，求实数a的取值范围．解析：(1)f′(x)＝aex－1，当a≤0时，f′(x)＝aex－1<0，所以x∈(－∞，＋∞)，f′(x)<0，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；当a>0时，由f′(x)＝aex－1＝0，得x＝－lna，所以x∈(－∞，－lna)，f′(x)<0，f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，x∈(－

2、lna，＋∞)，f′(x)>0，f(x)在(－lna，＋∞)上单调递增．(2)由题(1)知，当a≤0时，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；又知f(0)＝0，所以f(x)仅有1个零点；当0g(1)＝0，所以f(－2lna)＝＋2lna－a>0，得f(x)在(－lna，－2lna)上也有1个零点当a＝1时，f(x)≥f(0)＝0，所以f(x)

3、仅有1个零点，当a>1时，f(0)＝0，所以f(－lna)<0，令函数h(a)＝a－lna，a>1，得h′(a)＝1－>0，所以h(a)>h(1)>0，所以a>lna，∴－a<－lna，取f(－a)＝ae－a>0，得f(x)在(－a，－lna)上也有1个零点综上可知，若f(x)恰有2个零点，则a∈(0,1)∪(1，＋∞)．2．(2018·高考北京卷)设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex.(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为0，求a；(2)若f(x)在x＝1

4、处取得极小值，求a的取值范围．解析：(1)因为f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex，所以f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex.f′(2)＝(2a－1)e2.由题设知f′(2)＝0，即(2a－1)e2＝0，解得a＝.(2)由(1)得f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex＝(ax－1)(x－1)ex.若a>1，则当x∈(，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在x＝1处取得极小值．若a≤1，则当x∈(0,1)时，ax－1≤x－1<0，所以

5、f′(x)>0.所以1不是f(x)的极小值点．综上可知，a的取值范围是(1，＋∞)．3．(2018·滨州月考)已知函数f(x)＝lnx－ax2－2x＋a＋(a≤0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a∈(－，0)时，设函数f(x)的极大值点为x0，求证：f(x0)<0.解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－2ax－2＝，①当a＝0时，f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝，由f′(x)>0，解得0

6、得x>，所以函数f(x)在区间(，＋∞)上单调递减；②当a≤－时，f′(x)≥0，函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，无单调递减区间；③当－0，解得x1＝－，x2＝－，则00，得φ(x)>0，解得0－，所以函数f(x)在区间(0，－)，(－，＋∞)上单调递增；由f′(x)<0，得φ(x)>0，解得x1

7、递减．综上所述，①当a＝0时，函数f(x)在区间(0，)上单调递增，在区间(，＋∞)上单调递减；②当a≤－时，函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，无单调递减区间；③当－

8、＝lnx0＋－2x0＋a＋＝lnx0－x0＋a＋1.设h(x)＝lnx－x＋a＋1(00，所以函数h(x)在区间(0,1)上单调递增．则h(x)