2018_2019高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式教案新人教A版.docx

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1、3.3排序不等式一、教学目标1．了解排序不等式的数学思想和背景．2．理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题．二、课时安排1课时三、教学重点1．了解排序不等式的数学思想和背景．2．理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题．四、教学难点1．了解排序不等式的数学思想和背景．2．理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题．五、教学过程（一）导入新课某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件和2件．现在选择商店中单价分别为3元，2元和1元的礼品，则至少要花________元，最多要花________元．【解析】　取两组

2、实数(2,4,5)和(1,2,3)，则顺序和为2×1＋4×2＋5×3＝25，反序和为2×3＋4×2＋5×1＝19.所以最少花费为19元，最多花费为25元．【答案】　19　25（二）讲授新课教材整理1　顺序和、乱序和、反序和的概念设a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则称ai与bi(i＝1,2，…，n)的相同顺序相乘所得积的和为顺序和，和为乱序和，相反顺序相乘所得积的和称为反序和．教材整理2　排序不等式设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则

3、≤≤，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于顺序和，此不等式简记为≤≤顺序和．（三）重难点精讲题型一、用排序不等式证明不等式(字母大小已定)例1已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证：(1)≥≥；(2)＋＋≥＋＋.【精彩点拨】　由于题目条件中已明确a≥b≥c，故可以直接构造两个数组．【自主解答】　(1)∵a≥b>0，于是≤.又c>0，∴>0，从而≥，同理，∵b≥c>0，于是≤，∴a>0，∴>0，于是得≥，从而≥≥.(2)由(1)知≥≥>0且a≥b≥c>0，∴≥≥，a2≥b2≥c2.由排序不等式，顺序和≥乱序和得＋＋≥＋＋＝＋＋＝＋＋，故＋＋≥＋＋.规律总结：利用排序不

4、等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．[再练一题]1．本例题中条件不变，求证：＋＋≥＋＋.【证明】　∵a≥b≥c≥0，∴a5≥b5≥c5，≥≥＞0.∴≥≥，∴≥≥，由顺序和≥乱序和得＋＋≥＋＋＝＋＋，∴＋＋≥＋＋.题型二、字母大小顺序不定的不等式证明例2设a，b，c为正数，求证：＋＋≤＋＋.【精彩点拨】　(1)题目涉及到与排序有关的不等式；(2)题目中没有给出a，b，c的大小顺序．解答本题时不妨先设定a≤b≤c，再利用排序不等式加以证明．【自主解答】　不妨设0

5、序和≤顺序和，得a3·＋b3·＋c3·≤a3·＋b3·＋c3·，a3·＋b3·＋c3·≤a3·＋b3·＋c3·.将上面两式相加得＋＋≤2，将不等式两边除以2，得＋＋≤＋＋.规律总结：在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况：(1)要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．(2)若给出的字母不具有对称性，一定不能直接限定字母的大小顺序，而要根据具体环境分类讨论．[再练一题]2．设a1，a2，…，an为正数，求证：＋＋…＋＋≥a1＋a2＋…＋an.【证明】　不妨设0＜a1≤a2≤…≤an，则a≤a≤…≤a，≥≥…≥.由排序不等式知，乱序和不小于反序和，所

6、以＋＋…＋＋≥a·＋a·＋…＋a·，即＋＋…＋＋≥a1＋a2＋…＋an.题型三、利用排序不等式求最值例3　设A，B，C表示△ABC的三个内角，a，b，c表示其对边，求的最小值(A，B，C用弧度制表示)．【精彩点拨】　不妨设a≥b≥c＞0，设法构造数组，利用排序不等式求解．【自主解答】　不妨设a≥b≥c，则A≥B≥C.由排序不等式，得aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC，aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC，将以上三式相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)·(A＋B＋C)＝π(a＋b＋c)，当且仅当A＝B＝C＝时，等号成立．∴≥，即的最小值为.规律总结：1

7、．分析待求函数的结构特征，构造两个有序数组．2．运用排序原理求最值时，一定要验证等号是否成立，若等号不成立，则取不到最值．[再练一题]3．已知x，y，z是正数，且x＋y＋z＝1，求t＝＋＋的最小值．【解】　不妨设x≥y≥z>0，则x2≥y2≥z2，≥≥.由排序不等式，乱序和≥反序和．＋＋≥x2·＋y2·＋z2·＝x＋y＋z.又x＋y＋z＝1，＋＋≥1，当且仅当x＝y＝z＝时，等号成立．故t＝＋＋的