2018_2019学年高中数学第四讲用数学归纳法证明不等式综合检测新人教A版.docx

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1、第四讲用数学归纳法证明不等式讲末综合检测(时间:120分钟,满分:150分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.用数学归纳法证明不等式1+++…+<2-(n≥2,n∈N+)时,第一步应验证不等式(  )A.1+<2- B.1++<2-C.1+<2-D.1++<2-解析:选A.第一步验证n=2时不等式成立,即1+<2-.设S(n)=+++…+,则(  )A.S(n)共有n项,当n=2时,S(2)=+B.S(n)共有n+1项,当n=2时,S(2)=++C.S(n)共

2、有n2-n项,当n=2时,S(2)=++D.S(n)共有n2-n+1项,当n=2时,S(2)=++解析:选D.S(n)的项数应为n2-(n-1)=n2-n+1,S(2)=++,故选D.3.设f(n)=+++…+(n∈N+),那么f(n+1)-f(n)等于(  )A.B.C.+D.-解析:选D.因为f(n)=++…+,所以f(n+1)=++…+++,所以f(n+1)-f(n)=+-=-.4.k棱柱有f(k)个对角面,则k+1棱柱的对角面个数f(k+1)为(  )A.f(k)+k+1B.f(k)+kC.f(k)+k-1D.f

3、(k)+k-2解析:选C.当k棱柱变为k+1棱柱时,新增的一条侧棱与和它不相邻的k-2条侧棱确定k-2个对角面,而原来的一个侧面变为对角面,所以共增加k-1个对角面.5.已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+1=2an+an-1(n∈N+),用数学归纳法证明a4n能被4整除,假设a4k能被4整除,然后应该证明(  )A.a4k+1能被4整除B.a4k+2能被4整除C.a4k+3能被4整除D.a4k+4能被4整除解析:选D.由假设a4k能被4整除,则当n=k+1时,应该证明a4(k+1)=a4k+4能被4整除.6.

4、设0<θ<,a1=2cosθ,an+1=,则猜想an等于(  )A.2cosB.2cosC.2cosD.2sin解析:选B.因为a1=2cosθ,所以a2===2.又因为0<θ<,所以0<<,所以a2=2cos,所以a3==2cos=2cos,故猜想an=2cos.7.F(n)是一个关于自然数n的命题,若F(k)(k∈N+)真,则F(k+1)真,现已知F(7)不真,则有①F(8)不真; ②F(8)真; ③F(6)不真; ④F(6)真;⑤F(5)不真; ⑥F(5)真.其中真命题是(  )A.③⑤B.①②C.④⑥D.③④解析

5、:选A.因为F(k)(k∈N+)真,则F(k+1)真的逆否命题是:F(k+1)不真,则F(k)不真,从而可结合数学归纳法的原理知:当F(7)不真时,F(6)不真,F(5)亦不真,故③⑤是真命题.8.用数学归纳法证明:“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N+)能被9整除”,要利用归纳假设证n=k+1时的情况,只需展开(  )A.(k+3)3B.(k+2)3C.(k+1)3D.(k+1)3+(k+2)3解析:选A.当n=k+1时,证明“(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3能被9整除”.由归纳假设,n=k时,k3+(k

6、+1)3+(k+2)3能被9整除,所以只需将(k+3)3展开.9.数列{an}的前n项和Sn=n2an(n≥2),且a1=1,通过计算a2,a3,a4,猜想an等于(  )A.B.C.D.解析:选B.由已知a1=1,Sn=n2an(n≥2),得a1+a2=4a2,解得a2==,同理a3=,a4=,…,猜想an=.10.对任意n∈N+,34n+2+a2n+1都能被14整除,则最小的自然数a为(  )A.1B.2C.5D.3解析:选C.因为当n=1时,34n+2=36=729=52×14+1,所以只需1+a3是14的倍数.于

7、是可排除选项A、B,若a=3,则当n=2时,34n+2+32n+1=35×22×61,不是14的倍数,这样又排除选项D.因此答案只能是C.11.上一个n层的台阶,若每次可上一层或两层,设所有不同上法总数为f(n),则下列猜想中正确的是(  )A.f(n)=nB.f(n)=f(n-1)+f(n-2)C.f(n)=f(n-1)f(n-2)D.f(n)=解析:选D.当n=1时,有1种上法,当n=2时,有2种上法.当n≥3时,f(n)为第1次上一层的上法f(n-1)与第1次上两层f(n-2)的和.故选D.12.已知1+2×3+3

8、×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N+都成立,则a,b,c的值为(  )A.a=,b=c=B.a=b=c=C.a=0,b=c=D.不存在这样的a,b,c解析:选A.因为等式对一切n∈N+均成立,所以n=1,2,3时等式成立,即整理得解得二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.用数学

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