2018_2019高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.3反证法与放缩法导学案新人教A版.docx

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1、2.3反证法与放缩法学习目标1.理解反证法在证明不等式中的应用．2．掌握反证法证明不等式的方法．3．掌握放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式.一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。二、合作探究探究1．用反证法证明不等式应注意哪些问题？探究2．运用放缩法证明不等式的关键是什么？1.反证法对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明．用反证法证明数学命题，实际上是证明逆否命题成立，来代替证明原命题成立，用反证法证明步骤可概括为“否定结论，推出矛盾”．(1)否定结论：假设命题的结论不成立，即肯定结论

2、的反面成立．(2)推出矛盾：从假设及已知出发，应用正确的推理，最后得出与定理、性质、已知及事实相矛盾的结论，从而说明假设不成立，故原命题成立．　2．用反证法证明不等式应注意的问题(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．3．放缩法放缩法是证明不等式的一种特殊方法，它利用已知的基本不等式(如均值不等式)，或某些函数的有界性、单调性等适当的放缩以达到证明的目的

3、．放缩是一种重要手段，放缩时应目标明确、放缩适当，目的是化繁为简，应灵活掌握．常见放缩有以下几种类型：第一，直接放缩；第二，裂项放缩(有时添加项)；第三，利用函数的有界性、单调性放缩；第四，利用基本不等式放缩．例如：<＝－，>＝－；>＝2(－)，<＝2(－)．以上n∈N，且n>1.【例1】　若a3＋b3＝2，求证：a＋b≤2.【变式训练1】　若假设a，b，c，d都是小于1的正数，求证：4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于1.【例2】　设x，y，z满足x＋y＋z＝a(a>0)，x2＋y2＋

4、z2＝a2.求证：x，y，z都不能是负数或大于a的数．【变式训练2】　证明：若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．【例3】　求证：2(－1)<1＋＋…＋<2(n∈N＋)．　【变式训练3】　设n∈N＋，求证：≤＋＋…＋<1.【例4】　已知实数x，y，z不全为零，求证：＋＋>(x＋y＋z)．　【变式训练4】　设x>0，y>0，x>0，求证：＋>x＋y＋z.　　　参考答案探究1．提示：用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任

5、何一种可能，证明都是不完全的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的．探究2提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当．如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大．有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等

6、式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式．【例1】　证法一　假设a＋b>2，则a>2－b，∴2＝a3＋b3>(2－b)3＋b3，即2>8－12b＋6b2，即(b－1)2<0，这是不可能的．∴a＋b≤2.证法二　假设a＋b>2，而a2－ab＋b2＝(a－b)2＋b2≥0，但取等号的条件是a＝b＝0，显然不可能．∴a2－ab＋b2>0.则a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)>2(a2－ab＋b2)．又∵a3＋b3＝2，∴a2－ab＋b2<1.∴1＋ab

7、>a2＋b2≥2ab.∴ab≤1.∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝(a2－ab＋b2)＋3ab<4.∴a＋b<2，这与假设相矛盾，故a＋b≤2.【变式训练1】证明　假设4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)都大于1，则a(1－b)>，b(1－c)>，c(1－d)>，d(1－a)>.∴>，>，>，>.又∵≤，≤，≤，≤，∴>，>，>，>.以上四个式子相加，得2>2，矛盾．∴原命题结论成立．【例2】【证明】　(1)假设x，y，z中有负数，若x，y，z中有一个负数，不妨设x<0，则y2＋z2≥(y＋z)2＝(a

8、－x)2，又∵y2＋z2＝a2－x2，∴a2－x2≥(a－x)2.即x2－ax≤0，这与a>0，x<0矛盾．若x，y，z中有两个是负数，不妨设x<0，y<0，则z>a.∴z2>a2.这与x2＋y2＋z2＝a2相矛盾．若x，y，z全为负