2018_2019高中数学第四讲数学归纳法证明不等式复习教案新人教A版.docx

《2018_2019高中数学第四讲数学归纳法证明不等式复习教案新人教A版.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第四讲数学归纳法证明不等式一、复习目标掌握数学归纳法证明问题的基本思路二、课时安排1课时三、复习重难点掌握数学归纳法证明问题的基本思路四、教学过程（一）知识梳理（二）题型、方法归纳归纳递推要用好归纳假设不等式证明中的强化命题从特殊到一般的数学思想方法（三）典例精讲题型一、归纳递推要用好归纳假设数学归纳法中两步缺一不可，第一步归纳奠基，第二步起到递推传递作用．在第二步的证明中，首先进行归纳假设，而且必须应用归纳假设(n＝k时命题成立)，推出n＝k＋1时，命题成立．例1　用数学归纳法证明：对于n∈N＋，＋＋＋…＋＝.【规范解答】　(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝，所以等式成立．(2)假设n＝

2、k时等式成立，即＋＋＋…＋＝，当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋＝＋＝＝，所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知对于任意的自然数n，等式都成立．[再练一题]1．数列的前n项的和记为Sn.(1)求出S1，S2，S3的值；(2)猜想出Sn的表达式；(3)用数学归纳法证明你的猜想．【解】　(1)S1＝，S2＝，S3＝.(2)猜想：Sn＝.(3)证明：①当n＝1时S1＝a1＝，右边＝.等式成立．②假设当n＝k时，Sk＝，则当n＝k＋1时，Sk＋1＝Sk＋ak＋1＝＋＝＝，即当n＝k＋1时，等式成立，∴Sn＝.题型二、不等式证明中的强化命题如果c为常数，用数学归纳法证明f(n)

3、，从k到k＋1的归纳过渡很易卡断思路，此时利用g(n)＝c，且g(n)

4、a1＝1＋a，an＋1＝＋a，求证：对一切正整数n∈N＋，有1

5、}是等差数列，且b1＝1，b1＋b2＋…＋b10＝145.(1)求数列{bn}的通项公式bn；(2)设数列{an}的通项an＝loga(其中a＞0，且a≠1)，Sn是数列{an}的前n项和．试比较Sn与logabn＋1的大小，并证明你的结论．【规范解答】　(1)设数列{bn}的公差为d.由题意得解得故bn＝1＋3(n－1)＝3n－2.(2)由bn＝3n－2知，Sn＝loga(1＋1)＋loga＋…＋loga＝loga.又logabn＋1＝loga，因此要比较Sn与logabn＋1的大小，可先比较(1＋1)·…与的大小．取n＝1，有(1＋1)＞；取n＝2，有(1＋1)＞.由此推测(1＋1)…

6、＞.①若①式成立，则由对数函数性质可判定：当a＞1时，Sn＞logabn＋1；当0＜a＜1时，Sn＜logabn＋1.下面用数学归纳法证明①式成立：a．当n＝1时，已验证①式成立．b．假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时①式成立，即(1＋1)…＞.那么，当n＝k＋1时，(1＋1)…1＋·＞＝(3k＋2)．∵[]3＝＝＞0∴(3k＋2)＞＝.因而(1＋1)…＞＝.∴当n＝k＋1时①式成立．由a，b知①式对任意正整数n都成立．由此证得：当a＞1时，Sn＞logabn＋1；当0＜a＜1时，Sn＜logabn＋1.[再练一题]3．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1

7、成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列．(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；(2)证明：＋＋…＋<.【解】　(1)由条件得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1.由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.用数学归纳法证明：①当n＝1时，由上可得结论成立．②假设当n＝k时，结