高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示练习.docx

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1、3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示[A　基础达标]1．已知O、A、B、C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则(　　)A.，，共线B.，共线C.，共线D．O、A、B、C四点共面解析：选D.由，，不能构成基底知、、三向量共面，所以一定有O、A、B、C四点共面．2．已知{a，b，c}是空间一组基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q构成空间另一组基底的是(　　)A．a　　　　　　　　　　　B．bC．cD.p－2q解析：选C.因为a，b，c不共面，所以p，q，c不共面．若存在x，y∈R，使c＝xp＋

2、yq＝(x＋y)a＋(x－y)b成立，则a，b，c共面，这与已知{a，b，c}是空间一组基底矛盾，故p，q，c不共面．3．已知A(1，2，－1)关于平面xOy的对称点为B，而B关于x轴的对称点为C，则＝(　　)A．(0，4，2)B．(0，4，0)C．(0，－4，－2)D.(2，0，－2)解析：选C.易知B(1，2，1)，C(1，－2，－1)，所以＝(0，－4，－2)．4.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间内任意一点，设＝a，＝b，＝c，则向量可用a，b，c表示为(　　)A．a－b＋2cB．a－b

3、－2cC．－a＋b＋cD.a－b＋c解析：选D.＝＋＝＋＝＋(－)＝a－b＋c.5．设{i，j，k}是单位正交基底，已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(　　)A．(12，14，10)B．(10，12，14)C．(14，12，10)D.(4，3，2)解析：选A.依题意，知p＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，故向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(12，14，10)．6．在

4、长方体ABCDA1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则向量在基底{i，j，k}下的坐标是________．解析：＝＋＋＝＋＋＝3i＋2j＋5k，所以向量在基底{i，j，k}下的坐标是(3，2，5)．答案：(3，2，5)7．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________．解析：因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有解得答案：1　－18．正方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别是底

5、面A1C1和侧面CD1的中心，若＋λ＝0(λ∈R)，则λ＝________．解析：如图，连接A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上，易知EF綊A1D，所以＝，即－＝0，所以λ＝－.答案：－9.如图所示，在三棱锥OABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA＝1，OB＝2，OC＝3，E，F分别为AC，BC的中点，建立以，，方向上的单位向量为正交基底的空间坐标系Oxyz，求EF中点P的坐标．解：令Ox，Oy，Oz轴方向上的单位向量分别为i，j，k，因为＝＋＝(＋)＋＝(＋)＋(－)＝＋＋＝i＋×2j＋×3k＝i＋j＋

6、k，所以P点的坐标为.10．已知平行六面体OABCO′A′B′C′，且＝a，＝b，＝c.(1)用a，b，c表示向量；(2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示.解：(1)＝＋＝－＋＝b＋c－a.(2)＝＋＝－＋＝－(＋)＋(＋)＝－(a＋b＋c＋b)＋(a＋b＋c＋c)＝(c－b)．[B　能力提升]11．如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝(　　)A．－1B．0C.D.1解析：选C.

7、因为＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋＋，所以x＝－1，y＝1，z＝，所以x＋y＋z＝.12．已知i，j，k是空间直角坐标系Oxyz中x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，且向量p＝i－3j＋k，则p的坐标为________．答案：13．(选做题)(2018·黑龙江哈师大附中高二(上)期末考试)已知{e1，e2，e3}为空间的一个基底，且＝2e1－e2＋3e3，＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3.(1)判断P，A，B，C四点是否共面；(2)能否以{，，}作为空间的一个基底？若能，试以这一基底表

8、示；若不能，请说明理由．解：(1)假设P，A，B，C四点共面，则存在实数x，y，z，使＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，即2e1－e2＋3e3＝x(e1＋2e2－e3)＋y(－3e1＋e2＋2e3)＋z(e1＋e2－e3)．比较对应的系数，得到关于x，y，z的方程组解得，与x＋y＋z＝1矛盾，故P，A，B，C四点不共面．(2)若，，