2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2第2课时椭圆方程及性质的应用练习.docx

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1、2.2.2第2课时椭圆方程及性质的应用[A 基础达标]1.点A(a,1)在椭圆+=1的内部,则a的取值范围是  (  )A.-C.-2

2、PF2

3、为(  )A.B.C.D.4解析:选C.因为

4、PF1

5、+

6、PF2

7、=4,

8、PF1

9、==,所以

10、PF2

11、=4-=.3.已知以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个交点

12、,则椭圆的长轴长为(  )A.3B.2C.2D.4解析:选C.设椭圆方程为+=1(a>b>0),由得(a2+3b2)y2+8b2y+16b2-a2b2=0,由Δ=0及c=2,可得a2=7,所以2a=2.故选C.4.已知椭圆C:+y2=1的右焦点为F,直线l:x=2,点A∈l,线段AF交椭圆C于点B,若=3,则

13、

14、=(  )A.B.2C.D.3解析:选A.设点A(2,n),B(x0,y0).由椭圆C:+y2=1,知a2=2,b2=1,所以c2=1,即c=1.所以右焦点F(1,0).由=3,得(1,n)=3(x0-1,y0).

15、所以1=3(x0-1)且n=3y0.所以x0=,y0=n.将x0,y0代入+y2=1,得×()2+(n)2=1.解得n2=1,所以

16、

17、===.5.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则椭圆E的方程为(  )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1解析:选D.设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程,有+=1,+=1,两式相减得=-·=,因为线段AB的中点坐标为(1,-1),所以=.因为右焦点为F(3,0),c=3,所以a2=18,

18、b2=9,所以椭圆E的方程为+=1.6.椭圆+y2=1被直线x-y+1=0所截得的弦长

19、AB

20、=__________.解析:由得交点为(0,1),,则

21、AB

22、==.答案:7.过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为__________.解析:将椭圆与直线方程联立:解得交点A(0,-2),B.设右焦点为F,则S△OAB=·

23、OF

24、·

25、y1-y2

26、=×1×=.答案:8.已知椭圆的方程为+=1(m>0).如果直线y=x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰为椭圆的右焦点F,则椭圆

27、的离心率为________.解析:焦点在x轴上,由题意知,M.又因为点M在y=x上,所以= ,解得m=2,所以e===.答案:9.已知椭圆+=1(a>b>0)截直线y=x+1所得弦的长度为,且离心率为,求这个椭圆的方程.解:因为e=,所以=,所以a2=4b2.代入椭圆方程,得4x2+y2-4b2=0.将y=x+1代入,得5x2+2x+1-4b2=0.(*)设直线与椭圆的两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2为方程(*)的两个相异实根,所以Δ=4-20(1-4b2)>0,即b2>.由弦长公式得=·,解得b

28、2=,所以a2=1,所以所求椭圆的方程为+y2=1.10.已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m.(1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围;(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.解:(1)由得5x2+2mx+m2-1=0.因为直线与椭圆有公共点,所以Δ=4m2-20(m2-1)≥0,解得-≤m≤.(2)设直线与椭圆交于点A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)知5x2+2mx+m2-1=0,由根与系数的关系,得x1+x2=-,x1x2=(m2-1).所以弦长d=====,所以当m=0时,d最大,此时直线方

29、程为y=x.[B 能力提升]11.(2018·广东肇庆期末)已知动直线y=k(x+1)与椭圆C:x2+3y2=5相交于A、B两点,点M的坐标为,则·的值是(  )A.-B.C.-D.解析:选D.将y=k(x+1)代入x2+3y2=5中得(1+3k2)x2+6k2x+3k2-5=0,所以Δ=36k4-4(3k2+1)(3k2-5)=48k2+20>0,设A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,所以·==+y1y2=+k2(x1+1)(x2+1)=(1+k2)x1x2+(x1+x2)++k2=(1+k

30、2)+++k2=++k2=.故选D.12.F1、F2为椭圆的两个焦点,以F2为圆心作圆,已知圆F2经过椭圆的中心,且与椭圆相交于M点,若直线MF1恰与圆F2相切,则该椭圆的离心率e=__________.解析:易知圆F2的半径为c,又直线MF1恰与圆F2相切,所以∠F1MF2是直角,因为

31、F1F2

32、=2

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