2018_2019学年高中数学第二讲证明不等式的基本方法三反证法与放缩法学案新人教A版 (2).docx

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1、三　反证法与放缩法　1.理解反证法在证明不等式中的作用，掌握用反证法证明不等式的方法．2．掌握放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．,　　　　　　　　[学生用书P32])1．反证法证明不等式时，首先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立．我们把它称之为反证法．2．放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．1．判断(正

2、确的打“√”，错误的打“×”)(1)反证法可归结为下面的步骤：反设、归谬、存真．(　　)(2)利用放缩法时，要依据需要适当放缩，不能过度．(　　)(3)假设欲证的命题是“若A，则B”，我们可以通过否定A来达到肯定B的目的．(　　)(4)放缩法的实质是等价转化，有一定的准则和程序．(　　)答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×2．用反证法证明命题“如果a>b，那么>”时，假设的内容是(　　)A．＝　　B．

3、一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0答案：D4．设n∈N*，则有真分数不等式<<<…<<______；假分数不等式2>>>…>>______．答案：　　利用反证法证明不等式[学生用书P33]　已知01，y(2－z)>1，z(2－x)>1均成立，则三式相乘得xyz(2－x)(2－y)(2－z)>1.①因为0

4、

5、所以b2＝ac，即b＝.所以a＋c＋2＝4，即a＋c－2＝0，所以(－)2＝0，所以＝，即a＝c.从而a＝b＝c，这与已知中a，b，c不成等差数列矛盾，所以原假设错误，故，，不成等差数列．2．若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，求证：a，b，c中至少有一个大于零．证明：假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，所以a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝＋＋＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，所以a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故a，b，c中

6、至少有一个大于0.　利用放缩法证明不等式[学生用书P33]　已知a，b，c∈R，求证：＋≥a＋b＋c.【证明】　因为＝，＝，所以≥＝≥a＋.≥＝≥c＋.所以＋≥a＋b＋c.放缩法证明不等式的技巧放缩法就是将不等式的一边放大或缩小，寻找一个中间量，如将A放大成C，即A0，y>0，A＝，B＝＋，则A，B的大小关系为(　　)A．A＝BB．AB解析：选B.因为x>0，y>0，所以B＝＋>＋＝＝A.2．已

7、知n∈N＋，求证：＋＋…＋<.证明：由基本不等式，得<＝，所以＋＋…＋<＋＋…＋＝＝＝<，故原不等式成立．1．常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设常见词语至少有一个至多有一个唯一一个不是不可能全都是否定假设一个也没有有两个或两个以上没有或有两个或两个以上是有或存在不全不都是2.放缩法证明不等式的理论依据(1)不等式的传递性．(2)等量加不等量为不等量．(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．3．放缩法证明不等式常用的技巧(1)增项或减项．(2)在分式中增大或减小分子或分母．(3)应用重要不等式放缩，如a2＋b2≥2ab，≤，ab≤，

8、≥(a，b，c>0)．(4)利用函数的单调性等．1．