2018_2019学年高中数学第四讲用数学归纳法证明不等式一数学归纳法学案新人教A版.docx

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1、一　数学归纳法　1.了解数学归纳法的原理．　2.了解数学归纳法的使用范围．　3.会用数学归纳法证明一些简单问题．1．数学归纳法的定义一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当n＝n0时命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋且k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法．2．数学归纳法的步骤(1)(归纳奠基)验证当n＝n0(n0为命题成立的起始自然数)时命题成立；(2)(归纳递推)假设当n＝k(

2、k∈N＋，且k≥n0)时命题成立，推导n＝k＋1时命题也成立．(3)结论：由(1)(2)可知，命题对一切n≥n0的自然数都成立．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)归纳法的特点是由一般到特殊．(　　)(2)在运用数学归纳法时，要注意起点n一定取1.(　　)(3)数学归纳法得出的结论都是正确的．(　　)(4)数学归纳法中的两个步骤，第一步是归纳基础，第二步是归纳递推，两者缺一不可．(　　)(5)数学归纳法第二步不需要假设也可以得出结论．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×2．在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步

3、应验证(　　)A．n＝1成立　　　　　　　B．n＝2成立C．n＝3成立D．n＝4成立答案：C3．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝，当n＝1时，左边应为________．解析：因为当n＝1时，n＋3＝4.所以左边应为1＋2＋3＋4.答案：1＋2＋3＋4　用数学归纳法证明恒等式[学生用书P54]　用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n≥1，n∈N＋)．【证明】　(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，命题成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.当n＝k＋1时，左边＝1－＋－＋…＋－＋－＝＋

4、＋…＋＋－＝＋＋…＋＋，即当n＝k＋1时等式也成立．由(1)和(2)知，等式对一切n≥1，n∈N＋均成立．利用数学归纳法证明恒等式的注意点利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表达n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点，并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设．　　1.用数学归纳法证明：n∈N＋时，＋＋…＋＝.证明：①当n＝1时，左边＝，右边＝＝，左边＝右边，所以等式成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，即有＋＋…＋＝，则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋＝＝＝＝.所以n＝k

5、＋1时，等式也成立．由①②可知，对一切n∈N＋等式都成立．2．已知数列{an}满足a1＝1，an＝3n－1＋an－1(n≥2，n∈N＋)．(1)求a2，a3；(2)求证：an＝.解：(1)由a1＝1，得a2＝3＋1＝4，a3＝32＋4＝13.(2)证明：用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1＝1＝，所以等式成立．②假设n＝k(k∈N＋，k≥1)时等式成立，即ak＝，那么当n＝k＋1时，ak＋1＝ak＋3k＝＋3k＝＝.即n＝k＋1时，等式也成立．由①②知等式对n∈N＋都成立．　用数学归纳法证明整除问题[学生用书P55]　用数学归纳法证明(x＋1)n＋1＋(

6、x＋2)2n－1(n∈N＋)能被x2＋3x＋3整除．【证明】　①当n＝1时，(x＋1)1＋1＋(x＋2)2×1－1＝x2＋3x＋3能被x2＋3x＋3整除，命题成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1能被x2＋3x＋3整除，那么(x＋1)(k＋1)＋1＋(x＋2)2(k＋1)－1＝(x＋1)(x＋1)k＋1＋(x＋2)2·(x＋2)2k－1＝(x＋1)(x＋1)k＋1＋(x＋1)(x＋2)2k－1－(x＋1)·(x＋2)2k－1＋(x＋2)2(x＋2)2k－1＝(x＋1)[(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1]＋(x

7、2＋3x＋3)·(x＋2)2k－1.因为(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1和x2＋3x＋3都能被x2＋3x＋3整除，所以上面的式子也能被x2＋3x＋3整除．这就是说，当n＝k＋1时，(x＋1)(k＋1)＋1＋(x＋2)2(k＋1)－1也能被x2＋3x＋3整除．根据①②可知，命题对任何n∈N＋都成立．用数学归纳法证明整除问题的关键点(1)用数学归纳法证明整除问题的关键是利用增项、减项、拆项、并项、因式分解等恒等变形的方法去凑假设、凑结论，从而利用归纳假设使问题获证．(2)与n有关的整除问题一般都用数学归纳法证明，其中关键问题是从n＝k＋1时的表达式中分解

8、出n＝k时的表达式与一个含除式的因式或几个含除式的因式．　　用数学归纳法证明对于