2020版高考数学复习导数及其表示第2节（第4课时）导数与函数的零点习题理（含解析）新人教A版.docx

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1、第4课时导数与函数的零点考点一判断零点的个数【例1】(2019·合肥质检)已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x－1≤x≤3，x∈R}.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝－4lnx的零点个数.解(1)∵f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x－1≤x≤3，x∈R}，∴设f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0.∴f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1.故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.(2)由(1)

2、知g(x)＝－4lnx＝x－－4lnx－2，∴g(x)的定义域为(0，＋∞)，g′(x)＝1＋－＝，令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3.当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下表：x(0，1)1(1，3)3(3，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)极大值极小值当03时，g(e5)＝e5－－20－2>25－1－22＝9>0.又因为g(x)在(3，＋∞)上单调递增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点，故g(x)仅有1个零点.规律方法利用导数确定函数零点或方程根

3、个数的常用方法(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数.(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.【训练1】已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝＋x，其中e是自然对数的底数，e＝2.71828….(1)证明：函数h(x)

4、＝f(x)－g(x)在区间(1，2)上有零点；(2)求方程f(x)＝g(x)的根的个数，并说明理由.(1)证明由题意可得h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－－x，所以h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－3－>0，所以h(1)h(2)<0，所以函数h(x)在区间(1，2)上有零点.(2)解由(1)可知h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－－x.由g(x)＝＋x知x∈[0，＋∞)，而h(0)＝0，则x＝0为h(x)的一个零点.又h(x)在(1，2)内有零点，因此h(x)在[0，＋∞)上至少有两个零点.h′(x)＝ex

5、－x－－1，记φ(x)＝ex－x－－1，则φ′(x)＝ex＋x－.当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，因此φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，易知φ(x)在(0，＋∞)内至多有一个零点，即h(x)在[0，＋∞)内至多有两个零点，则h(x)在[0，＋∞)上有且只有两个零点，所以方程f(x)＝g(x)的根的个数为2.考点二已知函数零点个数求参数的取值范围【例2】函数f(x)＝ax＋xlnx在x＝1处取得极值.(1)求f(x)的单调区间；(2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围.解(1)函数f

6、(x)＝ax＋xlnx的定义域为(0，＋∞).f′(x)＝a＋lnx＋1，因为f′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1，当a＝－1时，f(x)＝－x＋xlnx，即f′(x)＝lnx，令f′(x)>0，解得x>1；令f′(x)<0，解得0

7、(x)min＝f(1)＝－1，由题意得，m＋1>－1，即m>－2，①当0e时，f(x)>0.当x>0且x→0时，f(x)→0；当x→＋∞时，显然f(x)→＋∞.由图象可知，m＋1<0，即m<－1，②由①②可得－2

8、.【训练2】已知函数f(x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0).(1)若f(0)＝2，求实数a的值，并求此时f(x)在[－2，1]上的最小值；(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围.解(1)由题意知，函数f(x)的定义域为R，又f(0)＝1－a＝2，得a＝－1，所以f(x)＝ex－x＋1，求导得f′(x)