数学分析(华东师大)第四章函数的连续性.doc

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1、第四章函数的连续性§1连续性概念连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数.从几何形象上粗略地说,连续函数在坐标平面上的图象是一条连绵不断的曲线.当然我们不能满足于这种直观的认识,而应给出函数连续性的精确定义,并由此出发研究连续函数的性质.本节中先定义函数在一点的连续性和在区间上的连续性.一函数在一点的连续性定义1设函数f在某U(x0)内有定义.若limx→xf(x)=f(x0),(1)0则称f在点x0连续.例如,函数f(x)=2x+1在点x=2连续,因为又如,函数limx→2f(x)=limx→2(2x+1)=5=f(2).f(x)=xsin1x,x≠0,0,x=

2、0在点x=0连续,因为limx→0f(x)=limx→0xsin1x=0=f(0).为引入函数y=f(x)在点x0连续的另一种表述,记Δx=x-x0,称为自变量x(在点x0)的增量或改变量.设y0=f(x0),相应的函数y(在点x0)的增量记为Δy=f(x)-f(x0)=f(x0+Δx)-f(x0)=y-y0.注自变量的增量Δx或函数的增量Δy可以是正数,也可以是0或负数.引进了增量的概念之后,易见“函数y=f(x)在点x0连续”等价于limΔy=0.Δx→070第四章函数的连续性由于函数在一点的连续性是通过极限来定义的,因而也可直接用ε-δ方式来叙述,即:若对任给的

3、ε>0,存在δ>0,使得当

4、x-x0

5、<δ时有

6、f(x)-f(x0)

7、<ε,(2)则称函数f在点x0连续.由上述定义,我们可得出函数f在点x0有极限与f在x0连续这两个概念之间的联系.首先,f在点x0有极限是f在x0连续的必要条件;进一步说“,f在点x0连续”不仅要求f在点x0有极限,而且其极限值应等于f在x0的函数值f(x0).其次,在讨论极限时,我们假定f在点x0的某空心邻域U°(x0)内有定义(f在点x0可以没有定义),而“f在点x0连续”则要求f在某U(x0)内(包括点x0)有定义,此时由于(2)式当x=x0时总是成立的,所以在极限定义中的“0<

8、x-x0

9、<δ”换

10、成了在连续定义中的“

11、x-x0

12、<δ”.最后,(1)式又可表示为limx→x0f(x)=flimx,x→x0可见“f在点x0连续”意味着极限运算limx→x与对应法则f的可交换性.0例1证明函数f(x)=xD(x)在点x=0连续,其中D(x)为狄利克雷函数.证由f(0)=0及

13、D(x)

14、≤1,对任给的ε>0,为使

15、f(x)-f(0)

16、=

17、xD(x)

18、≤

19、x

20、<ε,只要取δ=ε,即可按ε-δ定义推得f在x=0连续.□相应于f在点x0的左、右极限的概念,我们给出左、右连续的定义如下:定义2设函数f在某U+(x0)(U-(x0))内有定义.若limx→x+0f(x)=f(x

21、0)lim-x→x0f(x)=f(x0),则称f在点x0右(左)连续.根据上述定义1与定义2,不难推出如下定理.定理4.1函数f在点x0连续的充要条件是:f在点x0既是右连续,又是左连续.例2讨论函数在点x=0的连续性.解因为f(x)=x+2,x≥0,x-2,x<0limx→0+limx→0-f(x)=limx→0+f(x)=limx→0-(x+2)=2,(x-2)=-2,而f(0)=2,所以f在点x=0右连续,但不左连续,从而它在x=0不连续(见●§1连续性概念71图4-1).□二间断点及其分类定义3设函数f在某U°(x0)内有定义.若f在点x0无定义,或f在点

22、x0有定义而不连续,则称点x0为函数f的间断点或不连续点.按此定义以及上一段中关于极限与连续性之间联系的讨论,若x0为函数f的间断点,则必出现下列情形之一:图4-1(i)f在点x0无定义或极限limx→xf(x)不存在;0(ii)f在点x0有定义且极限limx→x0f(x)存在①,但limx→x0f(x)≠f(x0).据此,我们对函数的间断点作如下分类:1.可去间断点若limx→xf(x)=A,0而f在点x0无定义,或有定义但f(x0)≠A,则称x0为f的可去间断点.例如,对于函数f(x)=

23、sgnx

24、,因f(0)=0,而limx→0f(x)=1≠f(0),故x

25、=0为f(x)=

26、sgnx

27、的可去间断点.又如函数g(x)=sinx,由于xlimx→0g(x)=1,而g在x=0无定义,所以x=0是函数g的可去间断点.设x0为函数f的可去间断点,且limx→xf(x)=A.我们按如下方法定义一个0函数f^:当x≠x0时,f^(x)=f(x);当x=x0时,f^(x0)=A.易见,对于函数f^,x0是它的连续点.例如,对上述的g(x)=sinx,我们定义x则g^在x=0连续.g^(x)=sinxx,x≠0,1,x=0,2.跳跃间断点若函数f在点x0的左、右极限都存在,但l