复合函数的含义.doc

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1、复合函数含义：函数y=log2x是对数函数，那么函数y=log2(2x-1)是什么函数呢?我们可以这样理解：设y=log2u，u=2x-1，因此函数y=log2(2x-1)是由对数函数y=log2u和一次函数u=2x-1经过复合而成的。一般地：若，又，且值域与定义域的交集不空，则函数叫的复合函数，其中叫外层函数，叫内层函数，简而言之，所谓复合函数就是由一些初等函数复合而成的函数。简言之：复合函数就是:把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.例如:f(x)=3x+5,g(x)=x2+1;复合函数f(g(x))即把f(x)里面的x换成g(x),f(g(

2、x))=3g(x)+5=3(x2+1)+5=3x2+8.对于有关复合函数定义域问题我们可以分成以下几种常见题型：（一）求复合函数表达式；（二）求复合函数相关定义域；（三）复合函数的单调性；（四）函数性质等与复合函数结合。新课程中复合函数相关题：7，如果，证明：。8、已知函数与分别由下表给出，那么12341234234121439、设函数，函数，求。7、已知是一个定义在R上的函数，求证：（1）是偶函数；（2）是奇函数。20、求满足下列条件的函数的解析式：（1）；（2）。22、如果，试求的表达式，并猜一猜的表达式。23、（1）函数与的图象之间有什么关系？（2）已

3、知函数的图象如图所示，画出下列函数的图象：①；②；③；④。（必修1p94）⑴已知，则．⑵已知与分别由下表给出，1234123423412143那么．⑶已知函数，①求；②若函数求．变题：已知函数，，求：①；②；③的定义域；④．⑷已知函数，，求.（一）求复合函数表达式；例1.已知f(x)=x+，g(x)=x2-2，求f[g(x)]和g[f(x)]的解析式。例2、（1）设f(x)=2x-3g(x)=x2+2求f[g(x)]（或g[f(x)]）。（2）已知：f(x)=x2-x+3求：f()f(x+1)（二）求复合函数相关定义域；一、已知的定义域，求复合函数的定义域由

4、复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若的定义域为，求出中的解的范围，即为的定义域。例1已知的定义域为，求定义域。解因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即即或故的定义域为【评注】所谓定义域是指函数中自变量的取值范围，因此我们可以直接将复合函数中看成一个整体，即由可得，解出的范围即可。（2006年湖北卷）设，则的定义域为（B）A.B.C.D.二、已知复合函数的定义域，求的定义域方法是：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。例2若函数的定义域为，求函数的定义域解，，故函数的

5、定义域为【评注】由的定义域为得，有的同学会误将此的范围当作的定义域，为了更易分清此非彼，我们可将令成一个整体，即，先解出的定义域，即为的定义域。三、已知复合函数的定义域，求的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域。例3已知的定义域为，求的定义域。解由的定义域为得，故即得定义域为，从而得到，所以故得函数的定义域为四、已知的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。例4已知函数定义域为

6、是，且求函数的定义域解，，又要使函数的定义域为非空集合，必须且只需，即，这时函数的定义域为【评注】由于所得不等式组中两个不等式的四个“端点”都含有字母，所以既要分别判断它们左、右端点值的大小，还要交叉判断第一个不等式的左端点与第二个不等式的右端点和第一个不等式的右端点与第二个不等式的左端点的大小，需要特别指出的是，函数的定义域不能是空集。  （三）复合函数的单调性；函数单调性是函数的核心内容之一，也是高考中重点考查的知识，又多以考查复合函数的单调性居多.复合函数的单调性的复合规律为：若函数y=f(u)与u=g(x)的增减性相同(相反)，则y=f[g(x)]是

7、增(减)函数，可概括为“同增异减”.定理：设y=f(u)，u=g(x)，已知u=g(x)在[a，b]上是单调增(减)函数，y=f(u)在区间[g(a)，g(b)](或[g(b)，g(a)]上是单调增(减)函数，那么复合函数y=f[g(x)]在[a，b]上一定是单调函数，并有以下结论：u=g(x)增函数增函数减函数减函数y=f(u)增函数减函数增函数减函数y=f[g(x)]增函数减函数减函数增函数判断复合函数的单调性的步骤如下：(1)求复合函数定义域；(2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)；(3)判断每个常见函数的单调性；(4)将中

8、间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；(5)求出复