高中数学专题讲解排列组合及二项式定理.doc

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1、排列组合及二项式定理【基本知识点】1．二项式系数的性质：展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数，定义域是，（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵）．（2）增减性与最大值：当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值．（3）各二项式系数和：∵，令，则【常见考点】一、可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数。（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人

2、限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）（2）（3）二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.（4）五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有9【解析】：把视为一人，且固定在的右边，则本题相当于4人的全排列，种（5）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A.360B.188C.216D.96【解析】：间接法6位同学站成一排，3

3、位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，种高☆考♂资♀源€网☆其中男生甲站两端的有，符合条件的排法故共有288二．相离问题插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.（6）七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是种（7）书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有种不同的插法（具体数字作答）【解析】：（8）马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能

4、关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？【解析】：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.四．元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。（9）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四9人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）高☆考♂资♀源€网☆A.36种B.12种C.18种D.48种【解析】：方法一：从后两项工作出发，采取位置分析法。方法二：分两

5、类：若小张或小赵入选，则有选法；若小张、小赵都入选，则有选法，共有选法36种，选A.（10）1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？【解析】：老师在中间三个位置上选一个有种，4名同学在其余4个位置上有种方法；所以共有种。.五．多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。高☆考♂资♀源€网☆（11）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（）A、36种B、120种C、720种D、1440种（12）把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为（A）（B）（C）（D）（13）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素

6、，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？【解析】：（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共种，选.高☆考♂资♀源€网☆（2）答案：C（3）看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有种，其余5个元素任排5个位置上有种，故共有种排法.六．定序问题缩倍法（等几率法）：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.（14）五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数是（）高☆考♂资♀源€网☆9【解析】：在的右边与在的左边排法数相同，所以题设的排法只是

7、5个元素全排列数的一半，即种（15）书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的插法？高☆考♂资♀源€网☆【解析】：法一：法二：七．标号排位问题（不配对问题）把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.（16）将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同