高等数学下册资料期末复习试题及答案.doc

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1、一、填空题（共21分每小题3分）1．曲线绕轴旋转一周生成的旋转曲面方程为．2．直线与直线的夹角为．3．设函数，则．4．设级数收敛，则．5．设周期函数在一个周期内的表达式为则它的傅里叶级数在处收敛于．6．全微分方程的通解为　．7．写出微分方程的特解的形式．二、解答题（共18分每小题6分）1．求过点且垂直于直线的平面方程．解：设所求平面的法向量为，则(4分)所求平面方程为(6分)2．将积分化为柱面坐标系下的三次积分，其中是曲面　及所围成的区域．解：　　(3分)(6分)3．计算二重积分，其中闭区域解三、解答题（共35分每题7分）1．设，而，

2、，求．解：(3分)(6分)(7分)2．函数由方程所确定，求．解：令，(2分)则　　(5分)　　，．(7分)3．计算曲线积分，其中是在圆周上由到点的有向弧段．解：添加有向辅助线段，有向辅助线段与有向弧段围成的闭区域记为，根据格林公式(5分)(7分)4．设曲线积分与路径无关，其中是连续可微函数且满足，求．解：由　得，　即(3分)　　所以，(6分)　　代入初始条件，解得，所以．(7分)5．判断级数的敛散性．解：因为(3分)(6分)故该级数收敛．(7分)四、（7分）计算曲面积分，其中是上半球面的上侧．解：添加辅助曲面，取下侧，则在由和所围成的

3、空间闭区域上应用高斯公式得　　　　　　　　　　　　　　(4分)　　(6分)　　．(7分)五、（6分）在半径为的圆的内接三角形中，求其面积为最大的三角形．解：设三角形各边所对圆心角分别为，则，　且面积为，　令(3分)由(4分)得．此时，其边长为．由于实际问题存在最大值且驻点唯一，故当内接三角形为等边三角形时其面积最大．(6分)六、（8分）求级数的收敛域，并求其和函数．解：，故收敛半径为．(2分)当时，根据莱布尼茨判别法，级数收敛；当时，级数为调和级数，发散．故原级数的收敛域为．(5分)设和为，即，求导得，(6分)再积分得，(8分)七、（

4、5分）设函数在正实轴上连续，且等式对任何成立．如果，求．解：等式两边对求偏导得(2分)上式对任何仍成立．令，且因，故有．(3分)由于上式右边可导，所以左边也可导．两边求导，得　即．故通解为　．当时，，故．因此所求的函数为．(5分)八．（5分）已知，，　是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程．解1：由线性微分方程解的结构定理知与是对应齐次方程的两个线性无　　关的解，是非齐次方程的一个特解，故可设此方程为　　　　　　　　　　将代入上式，得，因此所求的微分方程为　　　　　　　解2：由线性微分方程解的结构定理知与是对应齐次方程的两个

5、线性无　关的解，是非齐次方程的一个特解，故是所　求微分方程的通解，从而有　　　，　　　　消去，得所求的微分方程为　　　　　　06高数B一、填空题（共30分每小题3分）1．坐标面上的双曲线绕轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为．2．设函数，则．3．直线与直线的夹角为．4.设是曲面及所围成的区域积分，则化为柱面坐标系下的三次积分形式是．　5.设是圆周，取正向，则曲线积分　　　．　　6.幂级数的收敛半径．7．设级数收敛，则．8．设周期函数在一个周期内的表达式为则它的傅　　里叶级数在处收敛于．9．全微分方程的通解为　．10．写出微分方程的特解的形

6、式．二、解答题（共42分每小题６分）1．求过点且垂直于直线的平面方程．解：设所求平面的法向量为，则　　(4分)所求平面方程为(2分)2．函数由方程所确定，求．解：令，　　　　　　　(2分)则　．(2分)　　．(2分)　　3．计算，其中是由直线及所围成的闭区域．　　解法一：原式　(2分).(4分)　　解法二：原式.(同上类似分)4．计算，其中是由即坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域．解：选极坐标系　原式(3分)　　　　(3分)5．计算，其中是曲线上由到的一段弧．解：原式(3分)(3分)6．判断级数的敛散性．解：因为(3分)，(2分)　　

7、故该级数收敛．(1分)7．求微分方程满足初始条件的特解．解：特征方程，特征根　　通解为，　(3分)　　，代入初始条件得，　　所以特解．　　　　　　　　　　　　　　　　　(3分)三、（8分）计算曲面积分，其中是上半球面的上侧．解：添加辅助曲面，取下侧，则在由和所围成的　　空间闭区域上应用高斯公式得　　　　　　　　　　　　　　　(4分)　　(2分)　　　　　　　　　　　　　　　．(2分)四、（8分）设曲线积分在右半平面内　　　与路径无关，其中可导，且满足，求．　解：由，　　得，　　即，(3分)　　所以　　，(3分)代入初始条件，解得，所以

8、．(2分)五、（6分）求函数的极值．解：得驻点　(3分)　　在点处，　故非极值；在点处，　故是极小值．(3分)六、（6分）试证：曲面上任一点处的切平面都过原点．证：因(3分)则取任意点，有，得切平面方程为即故切平面过原点