高考数学 放缩法在数列不等式证明的运用论文 大纲人教版.doc

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1、放缩法在数列不等式证明中的运用高考中利用放缩方法证明不等式，文科涉及较少，但理科却常常出现，口多是在斥轴题中出现。放缩法证明不等式有法可依，但具体到题，又常常没有定法，它综合性强，形式复杂，运算要求高，往往能考杳考生思维的严密性，深刻性以及提取和处理信息的能力，较好地体现高考的甄别功能。本文旨在归纳几种常见的放缩法证明不等式的方法，以売起到举一反三，抛砖引玉的作用。一、放缩后转化为等比数列。例].｛化｝满足：％ni,仇+严仇2—5—2也+3（1）用数学归纳法证明：hn>n（2）T=—*—4-—L-+—求证：Tn<-"3+也3+仇3+仪3+仇2解：（1）略⑵•・•齢+3",@“7）+2（

2、仇+3）又•/hn>n.・.亿+

3、+3»2(亿+3),nM迭乘得：^+3>2n-,(/?1+3)>2rt+,—5丄pEwN"化+32M+,•rWA+・.・+厶厶乙"2223242/,+,22"12点评：把握“bu+3”这一特征对"仇+]=b/—⑺―2）仇+3”进行变形，然后去掉一个止项，这是不等式证明放缩的常用于法。这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的，为什么？值得体味！二、放缩后裂项迭加例2.数列｛%｝,^=（-1）,,+1-,其前n项和为片n解:11111—I…2342n-l2n当"2时m砸巧n0旦+丄+丄+丄「丄)+丄(丄丄+・・・+丄(丄丄」"212304344

4、564—1n7IV2=<—104n2点评:本题是放缩后迭加。放缩的方法是加上或减去一个帘数，也是常用的放缩手法。值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放大，命题才得证，这就需要尝试和创新的精神。例3.已知函数/(x)=6/x+-+c(ez>0)的图象在(1,/(1))处的切线方程为y=x-l(1)用Q表示出b.c(2)若/(x)>lnx在［1,+oo)上恒成立，求a的取值范围⑶证明：1+冬+.,+〉1讪+1)+亦気解：(1)(2)略(3)由(II)知：当a>-0t,lnx(x>l)2令°二一，旬(兀)=—(x——)>lnx(x>1).22

5、x且当兀>1时，丄(X-—)>Inx.2x)],令"岁，有山字亠]詁[(1+4(1一丄kk2kk+2kk+1即ln(£+1)—Inkv丄(丄+—k=1,2,3,…,z2kk+将上述门个不等式依次相加得ln(/i+1)v—+(―+-+…+—)+223n2(口+1)整理得]1—〉ln(n+1)23n2(/?+1)点评：本题是2010湖北高考理科第21题。近年，以函数为背景建立一个不等关系，然后对变量进行代换、变形，形成裂项迭加的样式，证明不等式，这是一种趋势,应特别关注。当然，此题还可考虑用数学归纳法，但仍需用第二问的结论。三、放缩后迭乘例4.®=1,%=長1+4%+J1+2堆）（mw

6、矿）・1O（1）求,。3（2）令»=J1+24%,求数列｛仇｝的通项公式（3）已知/（〃）=6色+厂3%求证：f⑴f⑵门3）・JS）＞g懈（1）（2）略2111山(2)得=-(-/+(-/+-"3423“、13°23••/")=亍+卫+2_4"4"2"八1“I、I121.1(1)(1r)]1_r]4〃4"一_4n4”42/,"〉4n1Hr4心4“1+二1+-1+-.•・/(l)/(2)..J(n)>—4>—1+114-14l+F点评：裂项迭加，是项项相互抵消，而迭乘是项项约分,英原理是一样的，都似多米诺骨牌效应。只是求〃项和时用迭加，求”项乘时用迭乘。