高考数学复习-一元二次不等式及其解法基础(2).doc

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1、一元二次不等式及其解法编稿：张希勇审稿：李霞【学习目标】1.掌握一元二次不等式的解法，体会数形结合的思想；2.理解一元二次不等式、一元二次方程与二次函数之间的关系；3.能利用一元二次不等式解决简单的实际问题.【要点梳理】要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如：.一元二次不等式的一般形式：或.设一元二次方程的两根为且，则不等式的解集为，不等式的解集为要点诠释：讨论一元二次不等式或其解法时要保证成立.要点二、一元二次不等式与相应函数

2、、方程之间的联系对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.二次函数（）的图象有两相异实根有两相等实根无实根要点诠释：（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集.要点三、解一元二次不

3、等式的步骤（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；（2）写出相应的方程，计算判别式：①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；②时，求根；③时，方程无解（3）根据不等式，写出解集.用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的过程开始结束将原不等式化成一般形式ax2+bx+c>0(a>0)Δ=b2-4ac求方程ax2+bx+c=0的两个根x1、x2方程ax2+bx+c=0没有实数根原不等式解集为R原不等式解集为原不等式解集为{x

4、xx2}(x1<

5、x2)Δ≥0?x1=x2?否是是否要点诠释：1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数.【典型例题】类型一：一元二次不等式的解法例1.解下列一元二次不等式（1）；（2）；（3）【思路点拨

6、】转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答.【解析】（1）方法一：因为所以方程的两个实数根为：，函数的简图为：因而不等式的解集是.方法二：或解得或，即或.因而不等式的解集是.（2）方法一：因为，方程的解为.函数的简图为：所以，原不等式的解集是方法二：（当时，）所以原不等式的解集是（3）方法一：原不等式整理得.因为，方程无实数解，函数的简图为：所以不等式的解集是.所以原不等式的解集是.方法二：∵∴原不等式的解集是.【总结升华】1.初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分

7、析能力；2.当时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）.3.当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答.举一反三：【高清课堂：一元二次不等式及其解法387159题型一一元二次不等式的解法】【变式1】已知函数解不等式f(x)＞3.【答案】由题意知或解得：x＞1.故原不等式的解集为{x

8、x＞1}．【变式2】（2015重庆）函数的定义域是（）A.[-3,1]B.(-3,1)C.(-∞，-3]∪[1.+∞)D.(-∞，-

9、3)∪(1.+∞)【答案】由题意得：，即解得x>1或x<-3,所以定义域为(-∞，-3)∪(1.+∞)，故选D。类型二：含字母系数的一元二次不等式的解法例2．解下列关于x的不等式（1）x2-2ax≤-a2+1；（2）x2-ax+1>0；（3）x2-(a+1)x+a<0；【思路点拨】解不等式时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；【解析】(1)∴原不等式的解集为.(2)Δ=a2-4当Δ>0，即a>2或a<-2时，原不等式的解集为当Δ=0，即a=2或-2时，原不等式的解集为.当Δ<0，即-2

10、2时，原不等式的解集为R.（3）(x-1)(x-a)<0当a>1时，原不等式的解集为{x

11、1

12、a