若干类Hopf代数的表示.pdf

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1、TherepresentationsofsomeclassHopfalgebrasByYingZhangSupervisor：Prof．HuiXiangChenSchoolofMathematicalScienceYangzhouUniversityMav．2012SubmittedintotalfulfilmentoftherequirementsOorthedegreeofPh．D．inmathematics中文摘要Hopfl弋数的构造及分类是Hop玳数的重要研究内容．近年来，随着Hop玳数与量子群及表示论的交叉融合，出现了许多新的构造方法．例如，利用

2、Hopfquiver和Hopf模或Yetter—Drinfeld模可以构造余根为群代数的pointedHop玳数，这些都是分次Hopff弋数，由这些分次Hop玳数通过提升可以构造很多非分次Hop玳数．因此研究这些分次Hopf代数的性质有着重要的理论价值，这也是Hop玳数研究的热点问题之一．最近，Cibils等利用n阶循环群代数上的一个2维Yetter—Drinfeld模构造了一类新的Hopff弋数，其中基础域的特征P>0，且ph分特征P=2和P>2两种情形，这类Hopfl弋数分别记为日和日(入，p)．本文主要研究这两类Hopff弋数的表示及性质、Yette

3、r—Drinfeld模以及Hopf-Galois对象．在第一章中，作为本文的基础我们介绍了一些相关的基本概念和基本结论．在第二章中，我们研究日的表示．首先证明日是一个对称的Hop玳数．然后利用日是有限维的分次Hop玳数，给出它的所有互不同构的单模，再利用H的余根kG中的一组幂等元，得到日的所有互不同构的不可分解投射模(不可分解内射模)幂NBlock，并且证明这些Block作为代数是彼此同构的．进一步地，我们考察单模通过自身的扩张，计算这些扩张的维数．并由此描述日的Gabriel箭图．其次，利用日是对称代数和它的Jacobson根的一些信息，证明H的表示型是

4、wild的．最后，我们给出单模的极小投射表现和极小内射表现，并利用这些极小表现分别给出日上的起始于单模和终止于单模的几乎可裂序列．在第三章中，我们研究H(A，肛)的表示．首先，我们给H{日(入，肛)作为代数的生成元孙a并[1b之问的～些交换公式，证明H(A，芦)是一个对称的Hopf{4Q数．进而证明在HopfI弋数同构下，H(A，p)可分为两类：H(0，o)和H(1，o)．然后，我们给d3H(A，“)上单模的结构与同构分类，并通过考察两个单模的张量积模的socle，证明日(A，“)上两个单模的张量积是不可分解模．进一步地，利用H(A，肛)的余根，即群代数k

5、G中的一组幂等元，构造H(a，“)中的一组幂等元，由此给出日(入，p)上的不可分解投射模(不可分解内射模)并flBlock．其次，我们考察不可分解投射模的根，计算出单模通过自身扩张的维数，并由这些结论描述H(A，∥)的Gabriel箭图．由此证明H(a，“)的表示型是wild的．最后，我们给出H(0，o)上单模的一个极小投射表现和一个极小内射表现，利用这些极小表现分别得到了起始于单模和终止于单模的几乎可裂序列．对于H(1，0)，我们给出它的单模的极小投射表现，扬州大学博士学位论文由此得到终止于单模的几乎可裂序列．在第四章中，我们讨论H矛HH(I，肛)上的单

6、Yetter—Drinfeld模．我们首先分祈单Yetter—DrinfeldH．模应该具有的形式，并利用日的代数生成元之间的关系给出这些生成元在单日一模的生成元上作用的表达式．然后利用这些表达式，描述单Yetter—DrinfeldH．模的结构和同构分类，并计算它们的维数．类似地，我们还给出日(入，“)上所有单Yetter—Drinfeld模的结构、同构分类及其维数．在第五章中，我们探讨Hopf{℃数日和H(a，#)J：l拘Hopf-Galois对象．我们首先给出日上的Hopf-Galois对象和相应的2一cocycle的结构，然后确定日上的Hopf-B

7、iGalois对象．最后，我们给出日(0，0)上的一部分Galois对象，相应的2一cocycleSHHopf-BiGalois对象．关键词：单模，不可分解投射模，Block，表示型，几乎可列序列，Yetter，Drinfeld模，Hopf-Galois对象AbstractTheconstructionandclassificationofHopfalgebrasplayanimportantroleinthetheoryofHopfalgebras．Duringthelastfewyears，severalclassificationresultsfor

8、pointedHopfalgebraswereobtainedba