特征值与特征向量的应用.ppt

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1、第一节特征值与特征向量一特征值与特征向量的概念二特征值和特征向量的求法第一节特征值与特征向量三特征值和特征向量的性质一、特征值与特征向量的概念定义Ａ为ｎ阶方阵，为数，为ｎ维非零向量，若则λ称为Ａ的特征值，称为Ａ的特征向量．（１）注②并不一定唯一；③ｎ阶方阵Ａ的特征值，就是使齐次线性方程组①特征向量　　，特征值问题只针对与方阵；有非零解的λ值，即满足的λ都是方阵Ａ的特征值．定义称以λ为未知数的一元ｎ次方程为Ａ的特征方程．定义称以λ为变量的一元ｎ次多项式为Ａ的特征多项式．定理设ｎ阶方阵　　　　的特征值为则证明①当　　

2、　　　是Ａ的特征值时，Ａ的特征多项式可分解为令得即证明②因为行列式它的展开式中，主对角线上元素的乘积是其中的一项，由行列式的定义，展开式中的其它项至多含ｎ－２个主对角线上的元素，含　　　　的项只能在主对角线上元素的乘积项中．故有比较①，有因此，特征多项式中定义方阵Ａ的主对角线上的元素之和称为方阵Ａ的迹.记为二、特征值和特征向量的性质推论１ｎ阶方阵Ａ可逆Ａ的ｎ个特征值全不为零.若数λ为可逆阵的Ａ的特征值，则　为　的特征值．推论２则　为　的特征值．推论３则　　为　的特征值．推论４则　为　的特征值．推论５特别单位阵Ｅ

3、的一个特征值为１．三、应用举例１、若λ＝２为可逆阵Ａ的特征值，则的一个特征值为（　　）２、证ｎ阶方阵Ａ的满足　　　，则Ａ的特征值为０或１．3、求下列方阵的特征值与特征向量四、特征向量的性质定理互不相等的特征值所对应的特征向量线性无关。定理互不相等的特征值对应的各自线性无关的特征向量并在一块，所得的向量组仍然线性无关。一相似矩阵的定义、性质二矩阵可相似对角化的条件三应用举例第二节矩阵相似对角化一、定义定义设Ａ、Ｂ都是ｎ阶矩阵，若有可逆矩阵Ｐ，使得则称Ｂ是Ａ的相似矩阵，或者说矩阵Ａ与Ｂ相似．可逆矩阵Ｐ称为把Ａ变成Ｂ的

4、相似变换矩阵．记作：Ａ∽Ｂ．二、性质（1）反身性：（2）对称性：（3）传递性：Ａ∽Ａ；Ａ∽Ｂ，则Ｂ∽Ａ；Ａ∽Ｂ，Ｂ∽Ｃ，则Ａ∽Ｃ；（4）Ａ∽Ｂ，则（5）Ａ∽Ｂ，则（6）Ａ∽Ｂ，且Ａ可逆，则定理若ｎ阶矩阵Ａ与Ｂ相似，则Ａ与Ｂ有相同的特征多项式，从而Ａ与Ｂ有相同的特征值．推论若ｎ阶矩阵Ａ与对角矩阵相似，就是Ａ的ｎ个特征值．则若能寻得相似变换矩阵Ｐ使对ｎ阶方阵Ａ，称之为把方阵Ａ对角化．三、相似对角化定理的推论说明，如果ｎ阶矩阵Ａ与对角矩阵Λ相似，那么，使得的矩阵Ｐ又是怎样构成的呢？则Λ的主对角线上的元素就是Ａ的全部特征

5、值．设存在Ｐ可逆，使得有于是有因为Ｐ可逆，故于是是Ａ的ｎ个线性无关的特征向量。反之，即设可逆，且则Ｐ若Ａ有ｎ个线性无关的特征向量所以即Ａ与对角矩阵Λ相似．定理ｎ阶矩阵Ａ能与对角矩阵Λ相似Ａ有ｎ阶线性无关的特征向量．推论如果ｎ阶矩阵Ａ有ｎ个不同的特征值，则矩阵Ａ可相似对角化．内积的定义与性质定义设ｎ维实向量称实数为向量α与β的内积，记作注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有施密特（Schmidt）正交化法设是向量空间Ｖ的一个基，要求向量空间Ｖ的一个标准正交基，就是要找到一组两两正交的单位向量，使与等价，此问

6、题称为把这组基标准正交化.1）正交化令就得到Ｖ的一个标准正交向量组.Ｖ的一组标准正交基.如果上述方法称为施密特（Schmidt）正交化法.2）标准化令是Ｖ的一组基，则就是则两两正交，且与等价.定理对称矩阵的特征值为实数.说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵．定理对称矩阵的互异特征值对应的特征向量正交.定理若ｎ阶对称阵Ａ的任　重特征值　对应的线性无关的特征向量恰有　个．（不证）定理若Ａ为ｎ阶对称阵，则必有正交矩阵Ｐ，使得实对称矩阵的特征值与特征向量的性质根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对

7、角矩阵，其具体步骤为：将特征向量正交化;3.将特征向量单位化.4.2.1.二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法例设矩阵求一个正交矩阵P，使得为对角阵。例设三阶对称矩阵A的特征值为1,2,3;矩阵A的属于特征值1，2的特征向量分别为（1）A的属于特征值3的特征向量。（2）求矩阵A。