离散数学集合的基本运算.ppt

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1、3.2集合的基本运算集合的交、并、差、补、对称差集合相等的证明并集union定义：设A，B是两个集合，所有属于A或属于B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作AB;AB={xxAxB}。ABE交集intersection定义：A，B是两个集合，即属于A，又属于B，称为集合A与B的交集，记为AB。即AB={xxAxB}EAB广义的并集集合的并(union)：集合A和B的并AB定义为：AB={x

2、xA或者xB}，集合的并可推广到多个集合，设A1,A2,…,An都是集合，它们的并定义

3、为：A1A2∪…An={x

4、存在某个i，使得xAi}广义的交集集合的交(intersection)：集合A和B的并AB定义为：AB={x

5、xA而且xB}，集合的交也可推广到多个集合，设A1,A2,…,An都是集合，它们的交定义为：A1∩A2∩…∩An={x

6、对所有的i，都有xAi}集合的交并例题1例如：集合A={x-2＜x＜2，xR}，B={x0≤x≤4,xR}求A∪B，A∩B。解：A∪B={x-2＜x＜2或0≤x≤4,xR}={x-2＜x≤4,xR}A∩B={x-2＜x＜2且0≤

7、x≤4,xR}={x0≤x＜2,xR}01234-1-2-3集合的交并例题2设A为奇数集合，B为偶数集合，求A∪B和A∩B。解：A∪B={xx是偶数或x是奇数}=ZA∩B={xx既是偶数又是奇数}=集合的交并例题3设A1={1，{2，3}}，A2={2，{1，3}}，A3={3，{1，2}}，求A1∩A2，A1∩A3，A2∩A3。解：三个集合均有两个元素，其中一个元素是数。另一元素是两个数组成的集合，三个集合没有相同元素，∴A1∩A2=A2∩A3=A3∩A1=不相交如A∩B=称A，B不相交。集合的差

8、设A，B是两集合，属于A而不属于B的元素全体称为A与B的差集，记作A-B，即A-B={xxA∧xB}。EAB补集(complementset)集合A的补集，记为∼A，是那些不属于集合A的元素所构成的集合，即∼A={x

9、xA}。通常来说，是在存在一个全集U的情况下讨论集合的补集。全集U是所讨论的问题域中所有元素所构成的集合。显然，A=E-A。AE可知：x∈∼AxAx∈A求证A-B=AB证明A-B={x

10、xA-B}={xxA∧xB}={xxA∧xB}=AB当A，B不相交时，A-

11、B=A，B-A=BEAB对称差定义：设A，B是两集合，集合（A-B）（B-A）称为集合A，B的对称差，记作AB。即AB={xxA且xBxB且xA}={x(xA∧xB)(xB∧xA)}AB=(AB)-(AB)EAB对称差举例例1、A={a,b,e}B={a,c,d}解：B-A={c,d}A-B={b,e}，AB={c,d,b,e}例2、A={xx-2,xR},E={xx≤2}求A，AA。解：A={xx-2}={x-2≤x≤2，xR}A-A=∴AA=(A

12、-A)(A-A)==集合运算性质（运算律）1、交换律A∪B=B∪A，A∩B=B∩A2、结合律（A∪B）∪C=A∪（B∪C）（A∩B）∩C=A∩（B∩C）3、分配律A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C)4、幂等律A∪A=A，A∩A=A5、同一律A∪=A,A∩E=A9、德摩根律（A∪B）=A∩B6、零一律A∩=，A∪E=E（A∩B）=A∪B7、补余律A∩A=，A∪A=E10、双重否定律（A）=A8、吸收律A∪（A∩B）=A注：A-B=A∩BA

13、∩（A∪B）=A集合相等的证明的方法一、利用集合的定义证明；二、利用集合等式证明；（常用）三、利用谓词公式证明；四、用集合成员表。（略）证明：A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）(1)xA(BC),分两种情况(a)如xAxAB且xACx(AB)(AC)(b)如xA,则xBCxB且xCxAB且xACx(AB)(AC)任何情况下均有x(AB)(AC)A(BC)(AB)(AC)证明：A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）(续)(2)

14、x(AB)(AC)xAB且xAC分两种情况(a)若xA,则xA(BC)(b)若xA，由xA,xABxB,由xA,xACxCxBCxA(BC)任何情况均有xA(BC)(AB)(AC)A(BC)(1)(2)合并为A（BC）=（AB）（AC）求证：A-(B∪C)=(A-B)