概率论与数理统计 第3版 教学课件 作者 范玉妹 电子课件 第五章 极限定理第一节大数定律.ppt

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1、第五章知识结构图概率论的理论结果大数定律中心极限定理切比雪夫大数定理贝努利大数定理辛钦(大数)定理独立同分布的中心极限定理棣莫弗--拉普拉斯中心极限定理李雅普诺夫中心极限定理第五章大数定律及中心极限定理本章主要讨论如下两个问题：在一定条件下,一列随机变量的算术平均值（按某种意义）收敛于所希望的平均值的定理称为大数定律为概率论所存在的基础提供了理论依据———“概率是频率的稳定值”。大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：它是随机现象统计规律的具体表现，也成为数理统计的理论基础。平均结果的稳定性。“大数定律”极限定理▲

2、▲在一定条件下，大量的相互独立的随机变量之和的概率分布近似于正态分布的定理称为中心极限定理它以严格的数学形式证明了随机现象另一个最根本的性质之一：如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大，则这种量一般都服从或近似服从正态分布。它是随机现象统计规律的具体表现，也成为数理统计的理论基础。而正态分布又是应用最广的分布。“中心极限定理”▲大量的随机现象中平均结果的稳定性：大量抛掷硬币正面出现频率字母使用频率生产过程中的废品率……第一节大数定律大数定律的客观背景定理1（切比雪夫大数定律）切比雪

3、夫一.切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律表明：独立随机变量序列{Xn}，如果方差有共同的上界，则：概率接近于1.设X1,X2,…是相互独立的随机变量序列，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即D(Xi)≤K，i=1,2,…，则对任意的注算术平均值数学期望是很小的，其概率接近于1。取值接近于其数学期望的概率接近于1。算术平均值与其数学期望的偏差切比雪夫大数定律给出了平均值稳定性的科学描述定理2（切比雪夫大数定律的特殊情况）设X1,X2,…是相互独立的随机变量序列，它们具有相同的数学期望与方差：作前n个随机变量的算术平均值：亦称为

4、独立同分布的大数定律即当n充分大时，则对任意的有：证明:由切比雪夫不等式可得:定理2是定理1中当数学期望和方差给定具体值时的特殊情况。在数理统计中如不知道，则可用其算术平均值来近似代替令：并注意到概率所以得：▲注它表明当n很大时，随机的算术平均值在概率意义变量下接近于数学期望其作用：定理2提供了理论依据依概率收敛的序列具有如下性质:[证明]:（略）见浙大教材P146页下方的小字体记为：定理2的结论可叙述为：依概率收敛于常数由此，▲设又设函数g(x,y)在点(a,b)处连续，则有：指的是：对任意正数▲称序列依概率收敛于常数序列二.贝

5、努利大数定理定理3.(贝努利定理)设随机变量相互独立，且同时服从以p为参数的(0–1)分布。或贝努利则对任意正数有：其中:p是事件A在每次试验中发生的概率证明:则由定理2可得:服从分布其中:n次独立重复试验中事件A发生的次数p是事件A在每次试验中发生的概率。定理3表明：接近于事件A发生的概率P亦称事件A发生的频率依概率收敛于事件A的概率P.以用事件发生的频率来近似代替事件的概率。▲▲▲问题定理2，定理3均为独立同分布的大数定律，并且均要求随机变量的期望与方差都存在。如果没有随机变量的方差存在的条件，那么大数定律的结论是否仍成立？注

6、当n很大时,事件A发生的频率贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法。(证明了频率的稳定性)。从而当n(试验次数)很大时可三.辛钦定理定理4.（辛钦定理）则对任意的正数有:辛钦设相互独立，并且服从同一分布，且具有数学期望：辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径为人们习惯上经常采用的方法提供了理论依据:大数定律从各个角度描述了样本的算术平均值及频率的稳定性。小结用样本的算术平均值去代替或估计其平均值；用频率去代替或估计其“概率”。★★