机械优化设计及应用教学课件 作者 樊军庆第二章.ppt

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1、第二章 优化设计的数学基础第一节多元函数的方向导数与梯度一、方向导数对二元函数在点处的偏导数,其定义是:同样,一个三元函数在点处沿方向的方向导数:以此类推,即可得到元函数在点处沿方向的方向导数:二、二元函数的梯度二元函数在点处的方向导数:令并称它为函数在点处的梯度。设为方向单位向量则把向量之间的内积写成向量之间的投影形式:例1:求二元函数在处函数变化率最大的方向和数值。解:三、多元函数的梯度对于函数在处的梯度,可定义为:对于在处沿的方向导数可表示为:其中第二节多元函数的泰勒展开式其中例2求二元函数解:将二元函数的泰勒展开式推广到多元函数:其中正定矩阵二次齐次函数,又叫

2、二次型第三节无约束优化问题的极值条件无约束优化问题是使目标函数取得极小值极值条件就是指目标函数取得极小值时极值点所应满足的条件。对可微的一元函数,在给定区间内某点处取得极值,其必要条件是:对二元函数,若在处取得极值,其必要条件是:即设则即要求或即例3求函数的极值解:对于多元函数,若在点处取得极值,则极值的必要条件为:极值的充分条件为:正定第四节凸集、凸函数与凸规划根据函数极值条件所确定的极小点,是指函数在附近的一切均满足不等式:一、凸集一个点集(或区域),如果连接其中任意两点和的线段都包含在该集合内,就称该点集为凸集。否则称为非凸集。用数学语言表示:如果对一切及一切满足

3、的实数点则称集合为凸集。凸集具有以下性质:1、若为一个凸集,是一个实数,是凸集中的动点,即,则集合还是凸集。2、若和是凸集,分别是凸集中的动点,即则集合还是凸集3、任何一组凸集的交集还是凸集二、凸函数函数,如果在连接其凸集定义域内任意两点的线段上,函数值总小于或等于用及作线性内插值所得的值,那么称为凸函数。用数学语言表示:其中若两式均去掉等号,则称为严格凸函数凸函数性质:1、设为定义在凸集上的一个凸函数,对任意实数,则函数也是定义在上的凸函数。2、设和为定义在凸集上的两个凸函数,则其和也是上的凸函数。3、对任意两个正数和,函数也是在上的凸函数。三、凸性条件设为定义在凸集

4、上,且具有连续一阶导数的函数,则在上为凸函数的充分必要条件是对凸集内任意不同两点不等式恒成立。设为定义在凸集上且具有连续二阶导数的函数,则在上为凸函数的充分必要条件是海赛矩阵在半正定。四、凸规划对于约束优化问题若都为凸函数,则称此问题为凸规划。凸规划有如下性质:1)若给定一点,则集合为凸集。此性质表明,当为二元函数时,其等值线呈现大圈套小圈形式证明:则有:取集合中任意两点,由于为凸函数,又有:即点满足故在集合之内,根据凸集定义,为凸集。2)可行域为凸集。证明:在集合中任意两点,即点满足故在集合之内,根据凸集定义,为凸集。由于为凸函数,则有:3)凸规划的任何局部最优解就是

5、全局最优解证明:设为局部极小点,则在某邻域内的有假若不是全局极小点,设存在有由于为凸函数,故有:当时,点进入邻域内,第五节等式约束优化问题的极值条件求等式约束优化问题:需要导出极值存在的条件,这是求解等式约束优化问题的理论基础。在数学上,有两种方法:1、消元法(降维法)2、拉格朗日乘子法(升维法)一、消元法先讨论二元函数只有一个等式约束的简单情况,即:求解这一问题可采用代数中的消元法。通过降维,将等式约束优化问题转化成无约束优化问题。目标函数通过消元由二元函数变成一元函数,即由二维变成一维,所以称为降维法。对于n维情况:由l个约束方程将n个变量中的前l个变量用其余n-l

6、个变量表示,即有:将这些函数关系带入目标函数中,从而得到只含有共个变量的函数,这样就可以利用无约束优化问题的极值条件求解。消元法虽然看起来很简单,但实际求解困难很大。因为将l个约束方程联立起来往往求不出解来,即便能求出解,当把它们带入目标函数之后,也会因函数十分复杂而难于处理。所以这种方法作为一种分析方法实用意义不大,而对于某些数值迭代方法来说,却有很大的启发意义。二、拉格朗日乘子法是求解等式约束优化问题的另一种经典方法。是通过增加变量将等式约束优化问题变成无约束优化问题,所以又称为升维法。对于具有l个等式约束的n维优化问题:在极值点处有:把l个等式约束给出的l个分别乘

7、以待定系数再和相加,得:可以通过其中的l个方程来求解l个,使得l个变量的微分的系数全为零。变成:但应是任意量,则应有:以上就是x达到约束极值的必要条件根据目标函数f(x)的无约束极值条件,则上述问题的约束极值条件可以转换成无约束的函数极值条件。办法:把原来的目标函数f(x)改造成为如下形式的新目标函数:拉格朗日函数拉格朗日函数乘子上式显然多了l个待定系数,而有n个变量,结果共有n+l个变量。但是可提供n个方程,再加上l个等式约束条件,共有n+l个方程,足以解出这n+l个变量。由于给出,所以这n+l个方程可以看成是通过下述条件给出的:这样,

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