线性代数 修订版 教学课件 作者 董晓波 电子课件 第三章3.5 向量组的秩.ppt

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1、向量组的秩§3.5定义在向量组中若能选出个向量构成向量组满足：（1）向量组线性无关；（2）向量组中任意个向量（若有个向量）都线性无关，则称向量组是向量组的一个最大线性无关向量组，简称最大无关组.最大无关组中所含向量的个数称为向量组的秩，记作（1）线性无关向量组的最大无关组即为其本身；（2）只含零向量的向量组的没有最大无关组，规定它的秩为零；注:（3）定义中的向量组可以是向量个数有限或无限的向量组.只含有限个向量的向量组的秩与向量组构成的矩阵的秩之间的联系定理矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩.由此定理，

2、只含有限个向量的向量组的秩也可记为既可看作是向量组的秩，也可看作是矩阵的秩.最大无关组的性质性质1向量组的最大无关组一般不唯一，但所含向量的个数相同.性质2向量组的最大无关组和向量组本身等价.性质3同一个向量组的任意两个最大无关组等价.例全体维向量构成的向量组记作。求的一个最大无关组及的秩.解因为线性无关，且任意个维向量组成的向量组必线性相关，从而最大无关组.易见，任何个线性无关的维向量都是是的一个最大无关组，且由最大无关组的性质，给定一个向量组，其中任一向量均能由它的最大无关组来线性表示.问题：如何求出一个最大无关组，

3、并把不属于最大无关组的向量用这个最大无关组线性表示？分析若则存在可逆矩阵使得因此的列向量组各向量之间有相同的线性相关性.即与同解.从而，的列向量组与利用初等变换例向量组求的一个最大无关组，并将其余向量用最大无关组线性表示。解构造矩阵可知从而矩阵位于1,2行1,2列的二阶子式因此是的一个最大无关组．将前面的行阶梯矩阵行最简化根据非齐次线性方程组解的知识可以知道例设矩阵求矩阵的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示.解记对施行初等行变换将其化成行最简形矩阵可知记的列向量为并且由行最简形可知

4、，与线性无关，且因为的列向量和的列向量之间有相同的线性关系，所以对于矩阵而言，为的列向量组的一个最大无关组,且定理向量能由向量组线性表示的充要条件是线定理向量组能由向量组性表示的充要条件是线性表示，则推论设向量组能由向量组推论等价的向量组的秩相等.定理向量组线性相关的充要条件是向量组线性无关的充要条件是推论（最大无关组的等价定义）的一个部分组，且满足：的一个最大无关向量组.是向量组设向量组（1）向量组线性无关；（2）向量组中任一向量均能由线性表示，则向量组便是向量组例设齐次线性方程组其全体解向量构成的向量组为，求的秩.解

5、对系数矩阵施行初等行变换：得令得通解为即其中所以该方程组的全体解向量构成的向量组为即能由向量组线性表示.又因为线性无关，知是的最大无关组，所以