振动理论及工程应用 第2版 教学课件 作者 刘习军10第十章 非线性振动.ppt

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1、第10章非线性振动一般来说，振动系统总是非线性的，线性系统只是一种简单模型。如果线性理论能反映所要考察的物理现象的定性性质和适当的定量结果，那么就把它当作线性系统来处理；否则，就要研究非线性系统。在线性系统的研究中可以应用叠加原理，即系统对不同激励的响应可以线性相加，而对非线性系统叠加原理不成立，因此对非线性系统的研究比线性系统要复杂得多。从研究方法上或是振动过程的变化规律上，非线性振动与线性振动之间有本质区别。研究非线性振动有两种基本方法定性方法：定性方法关心的是在已知解的邻域内系统的一般稳定性特征，并非寻求与时间相

2、关的解。定量方法：定量方法关心的是运动的时间历程，一般应用摄动法来求得这类方程的近似解析解。10.1非线性振动的例子单摆的有限振幅振动是最简单的一个例子对于微小振动，如果振幅不是很小运动微分方程为线性系统非线性系统单摆运动特性质量m在拉紧着的钢丝中的振动。设质量m附着在长度为2l的钢丝中间，钢丝两端的拉力为S。当质点从其平衡位置侧向移动距离x时，钢丝产生恢复力，运动微分方程为其中A,E和l分别表示钢丝的横截面积，弹性模量和长度增量；为钢丝与竖直线的偏角。运动微分方程为其中如果不再假设位移x很小，那么弹簧的弹性恢复力

3、一般地是位移x的非线性函数代入整理得一般非线性系统的运动微分方程可表示为如果则称弹性恢复力为硬特性恢复力（称为硬弹簧）；则称弹性恢复力为软特性恢复力（称为软弹簧）如果例如当时表示硬弹簧；时表示软弹簧。当硬弹簧曲线示意图软弹簧曲线示意图如果系统还受到阻力强迫力的作用，则系统的运动微分方程为在一般情况下，单自由度系统的运动微分方程为或它是x和的非线性函数。其中如果函数f不显含t，则称这个系统为自治系统，否则称为非自治系统。10.2相平面平衡点式中x表示质点的位移，表示质点的速度。如果把(x,y)看作平面上点的坐标（称为相点

4、），该平面称为相平面。设自治系统可表示为或对于更一般的情形，方程可表示为微分方程式的一个解x=x(t),y=y(t)对应于相平面上的一条曲线，称为相轨迹，简称轨迹。若相平面上的点为即则称点(xs,ys)为方程式的平衡点。设点O(xs,ys)是一个平衡点。令不妨设平衡点O为原点，则方程式可写成对于线性方程组特征方程为两个特征根为平衡点（0，0）有如下类型：（1）特征值均为负实数(p＞0,p2≥4q＞0)，则平衡点是稳定结点稳定结点稳定非正常结点稳定星形结点（2）两特征值均为正实数(p＜0,p2≥4q＞0)，则平衡点是不稳

5、定结点。分别称为不稳定结点，不稳定非正常结点和不稳定星形结点。图形分别与上图相似，但箭头方向相反。（3）特征值为相异实数（q＜0），则平衡点称为鞍点，如图所示。（4）特征值为复数，实部为负(p＞0,4q＞p2)，则平衡点称为稳定焦点，如图所示。稳定焦点鞍点（5）特征值为复数，实部为正(p＜0,4q＞p2)，则平衡点称为不稳定焦点，此时形状与上图相同，但箭头方向相反。（6）特征值为纯虚数，则平衡点称为中心，此时相迹为封闭的圆，如图所示。中心点平衡点类型示意图总结以上各种情况，平衡点类型可在p－q平面上简单表示，如图所示。

6、例1设质量为m,长为l的单摆在具有粘性阻尼的介质中运动,阻尼系数为c,其运动微分方程为试研究单摆运动的相图.解：令则方程式可写成则方程式（b）可表示为再令则方程式的平衡点为对于平衡点（0，0），按式求得特征方程为特征值为当1时，点（0，0）为稳定结点；对于平衡点(，0)，两特征值为相异实数，点(，0)为鞍点当=1时，点（0，0）为稳定的非正常结点；当1时，点（0，0）为稳定焦点。其它平衡点可类似讨论。一般来说平衡点（0，0），(2，0)，(4，0)…为同类型平衡点。大阻尼小阻尼临界阻尼由摆的相图可

7、见，摆的最低位置（=0）是稳定的，而摆的最高位置（=）是不稳定的（同为鞍点）。摆的相平面示意图稳定结点非正常结点稳定焦点（0，0）点1=11大阻尼小阻尼临界阻尼10.3保守系统保守系统的运动微分方程可以写成将上式积分得或设x=0处势能为零，E是积分常数，它表示质点的机械能。表明系统的机械能守恒。保守系统中的周期运动对应于相平面上的闭轨线。闭轨线不是孤立的，这是保守系统的一个特点。闭轨线一个包围一个，在相平面上充满某个区域。从物理意义上来看，这意味着，如果有一个周期运动，就有无穷多个周期运动。周期运动的周

8、期为由于E依赖于初始条件，可见周期与初始条件有关，而对于线性系统，周期与初始条件是无关的。这是非线性系统与线性系统的一个区别。例10-3求质量为m长为l的单摆，在作无阻尼自由振动时的周期T。解单摆的运动微分方程为令，并对式积分得为摆幅，则单摆振动得周期为设则上式可写成令，则上式展开后积分得以代入上式得若将式直接进行数值积分求其数值