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1、共渐近线的两个双曲线系的解题功能甘肃彭长军本文首先给出关于共渐近线的双曲线系方程的两个命题，然后就其解题功能作一点探讨，供同学们参考。命题1：与双曲线=1（a>0,b>0）有共同渐近线的双曲线系方程为=(≠0)(*)证明：（1）当>0时，方程(*)可变形为=1,>0.表示中心在原点、焦点在x轴上的双曲线，其渐近线方程为y=x=，与双曲线=1的渐近线相同。（2）当<0时，方程(*)可变形为=1,->0.。表示中心在原点、焦点在y轴上的双曲线，其渐近线方程为y=x=，与双曲线=1的渐近线相同。由（1）（2）可知，原命题成立。同理，与双曲线=1（a>0,b>0）有共同渐近线
2、的双曲线系方程为=(≠0)。命题2:以直线AxBy=0为渐近线的双曲线系方程为(Ax+By)(Ax-By)=(≠0)，即Ax-By=(≠0)。证明过程请读者自己完成，这里不在赘述。推论:以两条相交直线l:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0为渐近线的双曲线系方程为（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=(≠0)。运用上述结论，在求某些特殊情形下的双曲线方程时，可有效地避开分类讨论，收到事半功倍的效果。下面举例说明。例1．已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为y=x(a>0,b>0)，若双曲线上有一点M(x,y)，使b>a，则双曲线的焦点
3、（）A.当a>b时在x轴上B.当a0,∴双曲线的焦点在x轴上,故选C.例2.求与双曲线=1有共同的渐近线，且经过点A（-3，2）的双曲线方程。解：设所求双曲线方程为=(≠0)。将A点坐标代入，得=，故所求双曲线方程为=，即=1例3．双曲线中心在原点，对称轴是坐标轴，若一条渐近线方程为3x+2y=0，且经过点P(8,6)，则其方程是___________。解：由对称性可知，双曲线的另一条渐近线方程为3
4、x-2y=0。因此，所求双曲线方程可表示为(3x+2y)(3x-2y)=，即=(≠0)。将P点坐标代入，得=144，故所求双曲线方程为=144，即=1。例4.以椭圆=64的焦点为顶点，一条渐近线方程x+y=0的双曲线方程是_____。解：由=1，得c2=48，设所求双曲线方程为=(≠0)，即=1。由已知知=c2=48，故所求双曲线方程为=1。例5.以双曲线=64的焦点为焦点，一条渐近线方程是x+y=0的双曲线方程是_________。解：由=1，得c2=80。设所求双曲线方程为=(≠0)，即=1。由已知，得+=80，∴=60,故所求双曲线方程为=1。例6.已知中心在原
5、点的双曲线的一个焦点是F(-4,0)，一条渐近线的方程是3x-2y=0，求此双曲线的方程。解：设所求双曲线方程为=(≠0)，即=1,则+=(-4)2=16,∴=。故所求双曲线方程为=1。例7.已知双曲线的两条渐近线方程分别为2x+y-8=0和2x-y-4=0,且以抛物线（y-2）2=-4(x-2)的焦点为一个顶点，求此双曲线的方程。解：由已知可得双曲线的一个顶点的坐标为（1，2）。设所求双曲线的方程为（2x+y-8）（2x-y-4）=(≠0)。将顶点坐标代入，得=16。故所求双曲线方程为（2x+y-8）（2x-y-4）=16。化简整理，得=1。例8.求以3x-4y-2
6、=0和3x+4y-10=0为渐近线，以5y+4=0为一条准线的双曲线方程。解：由5y+4=0即y=-为双曲线的一条准线可知双曲线的焦点在平行于y轴的直线上。设所求双曲线的方程为(3x-4y-2)(3x+4y-10)=(≠0)，即=1,∴c2==,∴从而有=1+,即,∴=-144,故所双曲线方程为：=1.例9．求过点P(2,-1)且渐近线方程分别为2x+y-8=0和x-3y+4=0的双曲线方程。解：设所求双曲线的方程为(2x+4y-8)(x-3y+4)=(≠0)，则=[2×2+4×（-1）-8][1×2-3×（-1）+4]=-72,∴所求双曲线的方程为(2x+4y-8)
7、(x-3y+4)=-72,即x2-6y2-xy+20y+20=0.
