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1、定义1：设X是一离散型随机变量，其分布列为：则随机变量X的数学期望为:设X是一连续型随机变量，其分布密度为则随机变量X的数学期望为一、一维随机变量的数学期望定义2：第三章随机变量的数字特征（一）基本内容1（1）设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为p(xi,yj)，则随机变量X及Y的数学期望分别定义如下：（2）设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，则随机变量X及Y的数学期望分别定义如下：即：假定级数是绝对收敛的.假定积分是绝对收敛的.二、二维随机变量的数学期望即：2则定义随机变量函数的数学期望为：（1）设离散型随机变量X的概率分布为：三、
2、一维随机变量函数的数学期望机变量函数的数学期望为：则定义随（2）若X为连续型随机变量，其概率密度为3（1）设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为p(xi,yj)，则随机变量函数g(X,Y)的数学期望如下：（2）设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，则随机变量g(X,Y)的数学期望如下：假定这个级数是绝对收敛的.假定这个积分是绝对收敛的.四、二维随机变量的函数的数学期望4五、关于数学期望的定理定理1推论（1）（2）（3）定理2推论：定理3若X、Y独立，则有：推论5定义X的标准差：定义X的方差：若X为离散型随机变量，则有若X为连续型随机变量，
3、则有方差的计算公式:定理1推论：有关方差的定理：六、方差与标准差6定理2：若X与Y独立，推论：七、某些常用分布的数学期望及方差二项分布：0-1分布：几何分布:均匀分布:指数分布:Poisson分布7二维随机变量的方差：连续型随机变量离散型随机变量8随机变量X的k阶原点矩：定义1：定义2：X的k阶中心矩：对于离散随机变量：对于连续随机变量：对于离散随机变量：对于连续随机变量：其中k为正整数。特别的，特别的，八、原点矩与中心矩9⑴离散型随机变量：⑵连续型随机变量：1、X与Y的协方差（或相关矩）：定义注九、协方差与相关系数定理1定理2若X与Y独立，则：注设X与Y是任两个
4、随机变量，逆命题不成立。102、X与Y的相关系数定义定理3且定理4定理5如果X与Y独立，则反之不成立。即:X与Y相互独立X与Y不相关11十、切比雪夫不等式与大数定律1、切比雪夫不等式2、切比雪夫大数定律4、伯努利大数定律3、辛钦大数定律若方差一致有上界独立同分布在独立试验序列中，事件A的频率按概率收敛于事件A的概率.12解设随机变量X表示在取得合格品之前已取得的废品数,则1一批零件有9个合格品与3个废品，安装机器时从中任取一个。如果取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望、方差与标准差。（二）作业题略解13所以X的概率分布列为14的次品率为
5、p，求每批产品抽查样品的平均数。都是合格，则也停止检查而认为这批产品合格。设这批产品立即停止检查而认为这批产品不合格；若连续检查5个产品2对某工厂的每批产品进行放回抽样检查。若发现次品，则设随机变量X表示每批产品抽查的样品数，则:∴X的概率分布表如下：解153设随机变量X的概率密度为：求数学期望EX与方差DX.令解则164设随机变量X的概率密度为:求数学期望EX与方差DX.解175设随机变量X的概率密度为：求系数A及EX与DX.令解18196方向盘有整分度，如果计算角度时是把零头数化为最解与标准差。靠近的整分度计算的，求测量方位角时误差的数学期望测量方位角时的误差
6、X～207设随机变量X服从二项分布B(3,0.4),求下列随机变量的数学期望与方差:解21228X的密度函数为：解239对球的直径做近似测量，设其值均匀分布在区间内,求球体积的数学期望.解设随机变量X，Y分别表示球的直径和体积，则而10证明：若随机变量X与Y独立，则证右=24=左∵X与Y独立，∴X2与Y2独立，∴右也可从左往右证.解11独立，且服从同一分布，数学期望为随机变量学期望及方差.方差为求它们的算术平均值的数2512N个人同乘一辆长途汽车，沿途有n个车站，每到一个车站时，如果没有人下车，则不停车.设每个人在任一站下车是等可能的,求停车次数的数学期望.解1且
7、服从分布26解2设Y表示停车的次数,服从分布二项分布B(n,p)Y则27解13计算二项分布的三阶原点距，三阶中心距.282914二维随机变量（X,Y）在区域R：（2）数学期望E(X)及E(Y)、方差D(X)及D(Y)；及相关系数解（1）设（X,Y）的概率密度其中C为常数.则服从均匀分布，求：（1）的概率密度；（3）相关矩上30（2）（3）3115解3216利用切比雪夫不等式估计随机变量与其数学期望的差大于三倍标准差的概率.解3317为了确定事件A的概率,进行了10000次重复独立试验.利用切比雪夫不等式估计：用事件A在10000次试验中发生的频率作为事件A的概率近
8、似值时,误
